a>0, b>0. \(CM:a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
29 tháng 9 2019
Ta bien doi BDT can chung minh
\(a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow a+a^2b+b+ab^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge4\)
Ta co:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)
\(b+\frac{1}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge4\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)
TK
4
20 tháng 9 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)
Thật vậy
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân từng vế 2 bđt trên => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c>0
14 tháng 8 2019
a) \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{ab}\)
b) Giống câu a ?
c) \(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{a}\sqrt{4ab}+\frac{1}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\left(1+\frac{2}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{4b}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\right):\left(\frac{ab+2b-a+1}{ab}\right)\)
\(=\frac{ab-a+2b+1}{\sqrt{ab}}\cdot\frac{ab}{ab+2b-a+1}\)
\(=\sqrt{ab}\)
DT
1
TN
11 tháng 5 2018
Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)
C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)
TX
2
1
1
HK
27 tháng 6 2020
\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)
\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)
\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)
\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)
\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn nhờ Trần Đức Thắng ý