Question

[Nguyễn Ngọc Minh Châu]

1) Tìm GTLN của các phân số:

a) \(\dfrac{2016}{\left|x\right|+2017}\) b) \(\dfrac{\left|x\right|+2016}{-2017}\)

2) Tìm GTNN của các phân số:

a) \(\dfrac{\left|x\right|+1945}{1975}\) b) \(\dfrac{-1}{\left|x\right|+1}\)

3) CMR: S=\(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{3}\)+\(\dfrac{1}{4}\)+\(\dfrac{1}{5}\)+...+\(\dfrac{1}{100}\)>\(\dfrac{99}{100}\)

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Hiệp]

1a.Vì \(\left|x\right|\) là 1 số tự nhiên nên \(\left|x\right|+2017\ge2017\)(1)

Mà ta đã biết:\(\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{a}{b+n}\)với n là một số tự nhiên.

Nên từ (1)suy ra\(\dfrac{2016}{\left|x\right|+2017}\le\dfrac{2016}{2017}\)

Vậy để \(\dfrac{2016}{\left|x\right|+2017}\)lớn nhất thì \(\dfrac{2016}{\left|x\right|+2017}=\dfrac{2016}{2017}\)

1b.Ta thấy:

\(\dfrac{\left|x\right|+2016}{-2017}=\dfrac{-\left(\left|x\right|+2016\right)}{2017}\)

Để \(\dfrac{-\left(\left|x\right|+2016\right)}{2017}\)lớn nhất thì \(-\left(\left|x\right|+2016\right)\)lớn nhất

Mà theo câu a,ta có:\(\left|x\right|\)+2016 là một số tự nhiên nên \(-\left(\left|x\right|+2016\right)\)mang dấu âm hay \(-\left(\left|x\right|+2016\right)\le0\)( chú ý \(-0=0\))

Vậy để \(-\left(\left|x\right|+2016\right)\)lớn nhất hay \(\dfrac{\left|x\right|+2016}{-2017}\)lớn nhất thì \(\left|x\right|+2016=0\)

\(\Rightarrow\)Để \(\dfrac{\left|x\right|+2016}{-2017}\)lớn nhất thì nó bằng \(\dfrac{0}{-2017}\)hay nó bằng 0

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Hiệp]

2)

a)Để \(\dfrac{\left|x\right|+1945}{1975}\)nhỏ nhất thì \(\left|x\right|+1945\) nhỏ nhất

Vì \(\left|x\right|\ge0\) nên \(\left|x\right|+1945\ge1945\)

\(\Rightarrow\)Để \(\left|x\right|+1945\) nhỏ nhất thì \(\left|x\right|+1945\) = 1945

\(\Rightarrow\)Để \(\dfrac{\left|x\right|+1945}{1975}\)bé nhất thì nó phải bằng \(\dfrac{1945}{1975}\)hay\(\dfrac{389}{395}\)

b)Để \(\dfrac{-1}{\left|x\right|+1}\)thì \(\left|x\right|+1\)bé nhất

Vì \(\left|x\right|\ge0\) nên \(\left|x\right|+1\ge1\)

\(\Rightarrow\)Để \(\left|x\right|+1\)bé nhất thì \(\left|x\right|+1\)\(=1\)

\(\Rightarrow\)GTNN của \(\dfrac{-1}{\left|x\right|+1}\)là \(\dfrac{-1}{1}\) hay -1