cho 3 số dương a, b, c thỏa mã
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{a+b}\)
Tính P=\(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 8 2020
Bài làm:
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=5\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a+b+c=5a\\a+3b+c=5b\\a+b+3c=5c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3a\\a+b+c=3b\\a+b+c=3c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy \(P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)
Vậy P = 6
XO
8 tháng 8 2020
Vì a ; b ; c > 0 => a + b + c > 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{3a+b+c+a+3b+c+a+b+3c}{a+b+c}\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=5\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a+b+c=5a\\a+3b+c=5b\\a+b+3c=5c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}\)
Khi đó P = \(\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)
PA
26 tháng 7 2017
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : a+b-c/c = b+c-a/a = c+a-b/b = a+b-c+b+c-a+c+a-b/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1
Ta có : a+b-c/c=1 => a+b-c=c => a+b+c=3c (1)
Ta có : b+c-a/a=1 => b+c-a=a => a+b+c=3a (2)
Ta có : c+a-b/b=1 => c+a-b=b => a+b+c=3b (3)
Từ (1);(2);(3) => 3c=3a=3b => a=b=c => b/a=1 ; a/c=1 ; c/b=1
=> B= (1+b/a)(1+a/c)(1+c/b) = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = 8
TN
23 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{c^3}}=\frac{3}{c}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{3}{b}.\left(2\right)\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge\frac{3}{a}.\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được
\(3\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(4\right)\)
Mặt khác, do abc=1 nên theo BĐT AM-GM
ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(\frac{a}{b}+ab\right)+\left(\frac{b}{c}+bc\right)+\left(\frac{c}{a}+ca\right)\ge2a+2b+2c.\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) =>đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
26 tháng 12 2020
Xét \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(=a.\frac{a}{b+c}+b.\frac{b}{c+a}+c.\frac{c}{a+b}\)
\(=a.\left(\frac{a}{b+c}+1-1\right)+b.\left(\frac{b}{c+a}+1-1\right)+c.\left(\frac{c}{a+b}+1-1\right)\)
\(=a.\frac{a+b+c}{b+c}-a+b.\frac{a+b+c}{c+a}-b+c.\frac{a+b+c}{a+b}-c\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).2020-\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{A}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right).2019}{a+b+c}=2019\)
Vậy...
31 tháng 8 2019
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
31 tháng 12 2016
Công dãy lại => hệ số : \(k=2014\)
Cách đơn giảii không hiệu quả, Thế lại=> a,b,c thay vào ra A
Ta có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\left(Đk:a;b;c\ne0\right)\)
Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{2}{1}=2\)
=> \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=2+2+2=6\)