Question

[Mai Hồng Ngọc]

Bài 1: Cho ΔABC nhọn (AB<AC) đường cao AH. Vẽ HE ⊥ AB ở E, HF ⊥ AC ở F. 

a) Cho AE= 16cm, EH=12cm. Tính AH,EB và tan BAH.

b) Chứng minh AE.AB=AF.AC

c) Chứng minh ΔAEF đồng dạng ΔACB và tính chính xác diện tích của ΔAEF biết ACB=\(45^o\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAEH vuông tại E, ta được:

\(AH^2=AE^2+EH^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=16^2+12^2=400\)

hay AH=20(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(HE^2=EA\cdot EB\)

\(\Leftrightarrow EB=\dfrac{HE^2}{EA}=\dfrac{12^2}{16}=\dfrac{144}{16}=9\left(cm\right)\)

Xét ΔEAH vuông tại H có 

\(\tan\widehat{EAH}=\dfrac{EH}{EA}\)

\(\Leftrightarrow\tan\widehat{BAH}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có 

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)