cho a, b, c thỏa abc>1; \(a^3>36\). CMR: \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
1
5 tháng 4 2020
\(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3.\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
0
TK
1
DT
0
NM
2
V
29 tháng 10 2017
Giả thiết ngứa mắt vc , let's biến đổi chút
\(GT\Leftrightarrow\frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\). Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b};\frac{1-c}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
thì \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
nên bài toán đã cho trở thành \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\left(xyz=1\right)\)
để ý rằng \(VT\ge\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(y^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(z^2+1\right)}\)
nên chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\left(xyz=1\right)\)
TT
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 và a+b+c > 1/a + 1/b + 1/. chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1) > 0
0
NB
6
NB
1
S
1 tháng 7 2018
Theo nguyên lý Dirichlet ta có mệnh đề trong ba số thực bất kì x,y,z luôn tìm được hai số có tích không âm
Áp dụng thì hai trong ba số a-1,b-1,c-1 có tích không âm
Giả sử (a-1)(b-1)≥0=>(c+1)/c=ab+1≥a+b (do abc = 1)
Ta có (ab- 1)²+(a-b)²≥0 (luôn đúng)
Từ đó 1/(1+a)² +1/(1+b)²≥1/(1+ab)=c/(c+1)
Do đó 1/(1+a)² +1/(1+b)² +1/(1+c)² +2/(1+a)(1+b)(1+c)
≥c/(c+1)+1/(c+1)²+2/(1+ab+a+b)(1+c)
=(c²+c+1)/(1+c)²+2/2*[(c+1)/c](c+1)
=(c²+c+1)/(1+c)²+c/(c+1)² =1