Question

[Âu Dương Linh Nguyệt]

Cho đường tròn (O ; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB; AC với (O) ( B, C là tiếp điểm).

a) Chứng minh tam giác ABC đều

b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D. Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi

c) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O)

Answer 1

[Trần Trung Nguyên]

a) Ta có △AOC vuông tại C\(\Rightarrow sin_{CAO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAO}=30^0\)

Mà A là giao điểm của 2 tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=2.\widehat{OAC}=2.30^0=60^0\)(1)

Và AB=AC(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\)△ABC đều

b) Ta có OD⊥OB

AB⊥OB

Suy ra OD//AB\(\Rightarrow\)OD//AE(3)

Chứng minh tương tự: OE//AD(4)

Tự (3),(4)\(\Rightarrow\)ADOE là hình bình hành

Ta có △AOC vuông tại C \(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90^0\Rightarrow\widehat{AOB}=90^0-\widehat{OAB}=90^0-30^0=60^0\)Ta lại có \(\widehat{DOB}=90^0\Rightarrow\widehat{DOA}+\widehat{AOB}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DOA}+60^0=90^0\Rightarrow\widehat{DOA}=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{OAD}=\widehat{DOA}=30^0\)\(\Rightarrow\)△DOA cân tại D\(\Rightarrow AD=DO\)

Mà ADOE là hình bình hành

Vậy ADOE là hình thoi

c) Ta gọi H là giao điểm hai đường chéo OA và DE của hình thoi ADOE\(\Rightarrow OH=HA=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{2R}{2}=R\)\(\Rightarrow\)H nằm trên đường tròn (O)

Và AO⊥DE\(\Rightarrow\widehat{OHD}=90^0\)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H