Question

[Quang Vinh]

Cho tam giác ABC, tìm tọa độ các đỉnh B,C biết A(4; -1); phương trình đường cao kẻ từ B là d: 2x - 3y = 0. Phương trình trung tuyến đi qua C là d1 : 2x +3y = 0

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ta có \(AC\perp d\Rightarrow\overrightarrow{n_{AC}}.\overrightarrow{n_d}=0\) đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(3;2\right)\) là một vecto pháp tuyến

\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng AC:

\(3\left(x-4\right)+2\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x+2y-10=0\)

Mà C là giao điểm của AC và \(d_1\Rightarrow\) tọa độ C là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=0\\3x+2y-10=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(6;-4\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\in d_1\Rightarrow M\left(a;\dfrac{-2a}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_M-x_A=2a-4\\y_B=2y_M-y_A=\dfrac{3-4a}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(2a-4;\dfrac{3-4a}{3}\right)\)

Mặt khác, do \(B\in d\Rightarrow2x_B-3y_B=0\)

\(\Rightarrow2\left(2a-4\right)-3\left(\dfrac{3-4a}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow8a-11=0\Rightarrow a=\dfrac{11}{8}\Rightarrow B\left(\dfrac{-5}{4};\dfrac{-5}{6}\right)\)