Question

[Nguyễn Tuấn Dũng]

Bài 8: Cho tam giác đều ABC có AD là đường cao. Lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M không trùng với B, C, D). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

a) Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi.

b) Chứng minh AD = ME + MF.

c) Chứng minh ba đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.
Giúp mình câu c với ạ

Answer 1

[↳ 𝗄𝖾𝗆 𝗏𝗂̣ 𝗏𝖺𝗇𝗂 ☕︎ ⁽ 𝗌𝗁𝗂𝗇 𝗂𝗌 𝗆𝗂𝗇𝖾? ⁾]

a)
Xét các tứ giác $ADEM$ và $AFDM$, ta có các góc vuông tại $E$ và $F$ theo giả thiết hình chiếu vuông góc ($ME \perp AB$, $MF \perp AC$).
Tam giác $ABC$ đều nên góc $A = 60^\circ$.
Tứ giác $DEMF$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Lại có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ trong tam giác đều $ABC$ (đồng thời là đường cao), nên $AD$ là phân giác của góc $EDF$.
Hình chữ nhật $DEMF$ có đường chéo $DF$ (hoặc $DE$) là phân giác của góc nên $DEMF$ là hình thoi $DEIF$.

b)
Xét tam giác đều $ABC$ và điểm $M$ trên cạnh $BC$.
Gọi khoảng cách từ $M$ xuống các cạnh là $ME$ và $MF$.
Diện tích tam giác $ABC$ bằng tổng diện tích hai tam giác $MAB$ và $MAC$:
$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MAC}$
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot ME + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MF$
Vì $AB = AC$, ta rút gọn được:
$AD = ME + MF$.

c)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $DI$ và $EF$ của hình thoi $DEIF$.
Vì $DEIF$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $EF$ và trung điểm của $DI$.
Xét tính đối xứng và các đường trung bình trong hình, đường thẳng $MH$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối các hình chiếu, từ đó đi qua trung điểm $O$ của $EF$.
Vậy ba đường thẳng $MH$, $ID$, $EF$ cùng đi qua điểm $O$, nên chúng đồng quy.

Answer 2

[phong nguyen]

bạn chưa vẽ điểm H nha nhưng nếu theo cách mik vẽ thì hình như H là trọng tâm △ABC đk

a) xét △AEM vuông tại E

=> \(EI=\frac12AM=IA=IM\)

CMTT:=> \(FI=\frac12AM=IA=IM\)

xét △ADM vuông tại D

=> \(DI=\frac12AM=IA=IM\)

=> \(IE=IF=ID=\frac12AM\)

ta có góc tại tại đỉnh I của △IAE:

góc EIM= 2 x góc EAM

CMTT: góc DIM=2 x góc DAM

=> góc DIE= \(\left\vert\right.\) góc EIM- góc DIM\(\left\vert\right.\) =2\(\left\vert\right.\) góc EAM- góc DAM\(\left\vert\right.\) =2 x góc BAD

mà △ABC đều nên AD vừa là đường cao vùa là p/ giác

=> góc BAD= 30 độ

=> góc DIE= 2 x 30 độ= 60 độ kết hợp với IE=ID

=> △IDE là tam giác đều

=> DE=IE=ID

CMTT:=>góc DIF= 60 độ

=> △IDF là tam giác đều

=> DF=IF=ID

=> IE=ED=DF=FI

=> tứ giác DEIF là h/ thoi

b) ta có: \(S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}\)

=> \(\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12ME\cdot AB+\frac12\cdot MF\cdot AC\)

vì AB=BC=AC nên ta chia cả hai vế cho \(\frac12\cdot BC\)

=> \(AD=ME+MF\)

c) C1: giả sử tia MO cắt AD tại H'

vẽ đường thẳng từ D song song với OM cắt AM tại K

xét △IDK có:

OM//DK

O là trung điểm ID

=> M là t/ điểm IK

=> IM=IK

=> AI=IM=IK và AM=2IM

xét △ADK có H'M//DK

=> \(\frac{AH^{\prime}}{H^{\prime}D}=\frac{AM}{AK}\)

=> \(\frac{AH^{\prime}}{H^{\prime}D}=\frac{2IM}{IK}=2\Rightarrow AH^{\prime}=2H^{\prime}D\)

đồng thời H là trọng tâm △ABC nên AH=2HD

=> H trùng H'

=> M,O,H thẳng thàng

=> MH,ID,EF đồng quy (đpcm)

C2: ta có: \(\frac{HD}{HA}\cdot\frac{MA}{MI}\cdot\frac{OI}{OD}=\frac12\cdot2\cdot1=1\)

theo đ/lí Menelaus đảo => M,O,H thẳng hàng

=> MH,ID,EF đồng quy(đpcm)

Answer 3

[Nguyễn tiến dũng]

k