Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn đã học công thức nghiệm dạng sai phân chưa nhỉ? Nếu rồi thì cứ áp dụng là xong, còn chưa thì làm từ từ vậy:
\(u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(u_{n+2}+1\right)-5\left(u_{n+1}+1\right)+6\left(u_n+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(u_{n+2}+1\right)-2\left(u_{n+1}+1\right)=3\left[\left(u_{n+1}+1\right)-2\left(u_n+1\right)\right]\)
Đặt \(u_{n+1}+1-2\left(u_n+1\right)=v_n\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=3v_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội 3 \(\Rightarrow v_n=3^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}+1-2\left(u_n+1\right)=3^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}+1-\frac{1}{3}3^{n+1}=2\left(u_n+1-\frac{1}{3}3^n\right)\)
Đặt \(u_n+1-\frac{1}{3}3^n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n+1-\frac{1}{3}.3^n=2^{n-1}\Rightarrow u_n=3^{n-1}+2^{n-1}-1\)
Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương
\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)
Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)
Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)
Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)
Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)
\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)
\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)
Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)
1) Có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u^2_n-2u_n+2=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)^2\) (1)
+) CM \(u_n>2\) (n thuộc N*)
n=1 : u1= 5/2 > 2 (đúng)
Giả sử n=k, uk > 2 (k thuộc N*)
Ta cần CM n = k + 1. Thật vậy ta có:
\(u_{k+1}=\dfrac{1}{2}u^2_k-u_k+2=\dfrac{1}{2}\left(u_k-2\right)^2+u_k\) (đúng)
Vậy un > 2 (n thuộc N*) (2)
Từ (1) (2) => un+1 - un > 0, hay un+1 > un
=> (un) là dãy tăng => \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\)
2) \(2u_{n+1}=u^2_n-2u_n+4\)
\(\Leftrightarrow2u_{n+1}-4=u^2_n-2u_n\)
\(\Leftrightarrow2\left(u_{n+1}-2\right)=u_n\left(u_n-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2}{u_n\left(u_n-2\right)}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_n}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(S=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+...+\dfrac{1}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=2-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S=2\)
a) Ta có:
u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5
u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng
Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,
Nghĩa là chứng minh:
Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1
Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)
Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*
\(u_n=\frac{n+1}{n-1}u_{n-1}\)
\(u_{n-1}=\frac{n-1+1}{n-1-1}u_{n-2}=\frac{n}{n-2}u_{n-2}\)
\(u_{n-2}=\frac{n-1}{n-3}u_{n-3}\)
...
\(u_2=\frac{2+1}{2-1}u_1\)
Nhân vế với vế:
\(u_nu_{n-1}u_{n-2}...u_2=\frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)...3}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)...1}u_{n-1}u_{n-2}u_{n-3}...u_1\)
\(\Leftrightarrow u_n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}u_1=n\left(n+1\right)\)
\(u_n< 100\Rightarrow n^2+n< 100\)
\(\Leftrightarrow n^2+n-100< 0\Rightarrow n\le9\Rightarrow n=\left\{1;2;...;9\right\}\)
\(u_{n+1}-1=\frac{u_{n}+1}{2}-1\)
\(u_{n+1}-1=\frac{u_{n}-1}{2}\)Đặt \(v_n = u_n - 1\). Khi đó:
- Số hạng đầu tiên: \(v_1 = u_1 - 1 = 3 - 1 = 2\).
- Hệ thức truy hồi: \(v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n\).
Dãy số \((v_n)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \(v_1 = 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).Công thức số hạng tổng quát của \((v_n)\) là:
\(v_{n}=v_{1}\cdot q^{n-1}=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\)Suy ra công thức số hạng tổng quát của \((u_n)\) là:
\(u_{n}=v_{n}+1=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+1\)Tính giới hạn khi \(n \to +\infty\):
\(\lim u_{n}=\lim \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+1\right]=0+1=1\)Cách 2: Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn (Trắc nghiệm nhanh)Giả sử dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn là \(\lim u_n = L\).
Khi \(n \to +\infty\), ta cũng có \(\lim u_{n+1} = L\).Chuyển qua giới hạn hai vế của phương trình truy hồi:
\(L=\frac{L+1}{2}\)
\(2L=L+1\implies L=1\)Vậy \(\lim u_n = 1\).