K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 1 2016
Đặt S = \(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}\)
\(S<\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+.....+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
Tính VP ra là được
TT
0
30 tháng 8 2020
a) Ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A-A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2^{100}}\)
18 tháng 7 2018
a) 2n^3 + 2n^2 - 2n^3 - 2n^2 + 6n = 6n chia hết 6
b) 3n - 2n^2 - ( n + 4n^2 - 1 - 4n ) - 1
= 3n - 2n^2 - n - 4n^2 + 1 + 4n -1
= 6n - 6n^2 chia hết 6
c) m^3 + 8 - m^3 + m^2 - 9 - m^2 - 18
= - 19
KT
18 tháng 7 2018
Bài 1:
\(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)
\(=2n\left(n^2+n-n^2-n+3\right)\)
\(=6n\)\(⋮\)\(6\)
Bài 2:
\(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1\)
\(=3n-2n^2-\left(n+4n^2-1-4n\right)-1\)
\(=6n-6n^2=6\left(n-n^2\right)\)\(⋮\)\(6\)
Bài 3:
\(\left(m^2-2m+4\right)\left(m+2\right)-m^3+\left(m+3\right)\left(m-3\right)-m^2-18\)
\(=m^3+8-m^3+m^2-9-m^2-18\)
\(=-19\)
\(\Rightarrow\)đpcm
N
28 tháng 3 2019
-Với n=1, ta thấy bthức đúng.
-Với n=k, có: \(\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2k-1}{4+\left(2k-1\right)^4}=\frac{k^2}{4k^2+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\)
-Giả sử bthức đúng với n=k+1, có:
\(\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k^2+1}-\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)\)
\(=\frac{2k+1}{\left(4k^2+1\right)\left(4\left(k+1\right)^2+1\right)}=\frac{2k+1}{4+\left(2k+1\right)^4}\)
Vậy ta có đpcm.
Đặt `S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3`
`= 1^2 . 1 + 2^2 . 2 + 3^2 . 3 + ... + n^2 . n`
`= 1 . (2 - 1) + 2^2 . (3 - 1) + 3^2 . (4 - 1) + ... + n^2 . (n + 1 - 1) `
`= 1 . 2 - 1 + 2^2 . 3 - 2^2 + 3^2 . 4 - 3^2 + ... + n^2 . (n+1) - n^2`
`= [1. 2 + 2^2 . 3 + 3^2 . 4 + ... + n^2 (n+1)] - (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)`
Đặt `A = 1. 2 + 2^2 . 3 + 3^2 . 4 + ... + n^2 (n+1)`
`A = 1.2 + (1+1).2 . 3 + (2 + 1) . 3 . 4 + ... + (n - 1 + 1) . n . (n+1) `
`= 1 . 2 + 1.2.3 + 2.3 + 2.3.4 + 3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1) + n(n+1) `
`= [1 . 2 + 2.3 + 3.4 + ... + n . (n+1)] + [(1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1)]`
Đặt `A_1 = 1 . 2 + 2.3 + 3.4 + ... + n . (n+1)`
`3A_1 = 1.2.3 + 2.3. (4-1) + 3.4.(5-2) + ... + n(n+1).[(n+2) - (n-1)]`
`3A_1 = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)`
`3A_1 = n(n+1)(n+2)`
`A_1 = (n(n+1)(n+2))/3`
Đặt `A_2 = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1)`
`4A_2 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5-1) + ... + (n-1)n(n+1)[(n+2)-(n-2)]`
`4A_2 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n-1).n.(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n.(n+1)`
`4A_2 = (n-1).n.(n+1)(n+2)`
`A_2 = ( (n-1).n.(n+1)(n+2))/4`
Khi đó `A = A_1 + A_2 = (n(n+1)(n+2))/3 + ((n-1).n.(n+1)(n+2))/4`
Đặt `B = 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2`
`= 1 . (2-1) + 2. (3-1) + 3.(4-1) + ... + n.(n+1 - 1) `
`= [1 . 2 + 2.3 + 3.4 +... + n(n+1)] - (1+2+3+...+n)`
`= (n(n+1)(n+2))/3 - (n(n+1))/2`
`= n(n+1). ((n+2)/3 - 1/2)`
`= (n(n+1)(2n+1))/6`
Khi đó `S = A - B`
`= (n(n+1)(n+2))/3 + ((n-1).n.(n+1)(n+2))/4 - (n(n+1)(2n+1))/6`
`= n(n+1) [(n+2)/3 + ((n-1)(n+2))/4 - (2n + 1)/6]`
`= n(n+1) [(n+2)/3 + (n^2 + n - 2)/4 - (2n + 1)/6]`
`= n(n+1) [(4n+8)/12 + (3n^2 + 3n - 6)/12 - (4n + 2)/12]`
`= n(n+1) (4n+8 +3n^2 + 3n - 6 - 4n - 2)/12`
`= n(n+1) (3n^2 + 3n)/12`
`= n(n+1) (n^2 + n)/4`
`= n(n+1) (n(n+1))/4`
`= ((n.(n+1))/2)^2`
Mà `1 + 2 + 3+ ....+ n = (n.(n+1))/2 `
Nên `S = (1 + 2 + 3+ ....+ n)^2 (đpcm)`
Nếu bạn cảm thấy không hiểu thì bạn vào link sau để các kí tự phân số hiện rõ cho bạn dễ nhìn nhé. Mình làm dài và khá đầy đủ rồi.
https://hoc24.vn/cau-hoi/9349228022166