Question

[pham trung thanh]

\(Cho:a;b\ge0.\)

\(CMR:\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

Answer 1

[Nguyễn Anh Quân]

Xét x^3 + y3 - xy.(x+y)

= (x+y) . ( x^2 - xy + y^2 - xy) = (x+y).(x^2-2xy+y^2)

=(x+y).(x-y)^2 >= với mọi x,y >=0 . Dấu "=" xảy ra <=> x=y >=0

Áp dụng bđt trên cho a,b >=0 có VT = \(\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\)= \(\frac{a^3+b^3+3\left(a^3+b^3\right)}{8}\)

>= \(\frac{a^3+b^3+3ab.\left(a+b\right)}{8}\) =  \(\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\) = \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) = VP

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b>=0

Answer 2

[Bui thanh binh]

i don't know