Question

[cô bé lovely]

Cho n thuộc N , n>2. Chứng minh n! -1 có ít nhất 1 ước nguyên tố > n

Answer 1

[Nguyen Van Huong]

Ta có n > 2

Suy ra n! = 1.2. ... .n

Ta thấy 1.2. ... .n là số chẵn

Do đó 1.2. ... .n - 1 là số lẻ

Mà số lẻ sẽ là số nguyên tố hoặc hợp số

TH1 : 1.2. ... n là số nguyên tố

        Ta có n > 2

         Nên n = 3 là bé nhất

         Với n = 3 thì 1.2. ... . n - 1 = 1.2.3 -1 = 6 -1 = 5

          Mà ước của 5 là 1 ; 5

          Mà 5 là số nguyên tố lớn hơn 2 nên 5 có 1 ước lớn hơn và đối với các số nguyên tố lớn hơn 5 luôn có một ước lớn hơn 2 là chính nó

          Do đó đối với các trường hợp n > 3 sẽ luôn được n! -1 có ít nhất 1 ước nguyên tố lớn hơn

TH2  1.2. ... .n là hợp số

     Ta thấy 1 hợp số lẻ ít nhất có 1 ước nguyên tố

      Ở trường hợp trên ta đã nói được 1.2. ... .n - 1 lớn hơn hoặc bằng 5

      Các hợp số lẻ lớn hơn hoặc bằng là 9 ; 15 ; 21 ;...

      Ta thấy các hợp số trên có ước nguyên tố bé nhất là từ 3 trở lên

      Mà 3 lá số nguyên tố lớn hơn 2

      Do đó 1.2. ... .n - 1 là các hợp số lẻ có các ước nguyên tố lớn hơn 2

      Vậy n! -1 ít nhất có 1 ước nguyên tố lớn hơn 2 với n thuộc N và n > 2