Question

[Trương Nguyên Đại Thắng]

Xác định phần dư R(x) của phép chia \(P\left(x\right)=x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}\) cho \(x^2-1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Giả sử \(P\left(x\right)=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+ax+b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+b\\P\left(-1\right)=-a+b\end{matrix}\right.\)

Mà thay \(x=1\) và \(x=-1\) vào \(P\left(x\right)\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=5\\P\left(-1\right)=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow R\left(x\right)=ax+b=5x\)

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

Dư trong phép chia cho $x^2-1$ có bậc cao nhất là bậc nhất.

Gọi thương của phép chia là $Q_{(x)}$ và dư là ax+b, với mọi x ta có: $ x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}=(x^2-1).Q_{(x)}+ax+b$

Với $x =1$ thì $5=a+b.$

Với $x=-1$ thì $-5=-a+b.$

Từ đó $a=5,b=0$ .Dư của phép chia là 5x.