Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chỉ đúng với \(x;y;z\in R^+\)
Nói chung là ta cần chứng minh
\(x^2+y^2+z^2\ge2xycosC+2zxcosB+2yzcosA\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\left(ycosC+zcosB\right)+y^2+z^2-2yzcosA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2-\left(ycosC+zcosB\right)^2+y^2+z^2-2yzcosA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2-y^2cos^2C-z^2cos^2B+y^2+z^2-2yz\left(cosB.cosC+cosA\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+y^2\left(1-cos^2C\right)+z^2\left(1-cos^2B\right)-2yz\left(cosB.cosC-cos\left(B+C\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+y^2sin^2C+z^2.sin^2B-2yz.sinB.sinC\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+\left(ysinC-zsinB\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu " = " khi x = y = z = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy...
Cách khác nhé!/-/
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^3\)
Do đó \(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(VT=\dfrac{3}{xy+yz+xz}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\dfrac{8}{4\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{4}{4\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{4}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{8}{4\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\dfrac{\left(2+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{8}{4\cdot\dfrac{1^2}{3}}+\dfrac{\left(2+2\right)^2}{2\cdot1^2}=14\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)