Question

[Phan]

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất của biến cố: A=”Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác” là bao nhiêu?

Answer 1

[Đỗ Thảo Nguyên]

95/132

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

Không gian mẫu \(\Omega\) chọn 3 thẻ từ 100 thẻ. \(n\left(\Omega\right)=C_{100}^3\).

Gọi \(x,y,z\) là ba số lấy ra được thỏa mãn. 

Biến cố A là biến cố chọn được các số \(x,y,z\) đó. 

Đặt \(A_k=\left\{\left(x,y,z\right)|x,y,z\in\left\{1,2,...,100\right\},1\le x< y< z=k,x+y>z\right\}\).

Khi đó \(n\left(A\right)=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+...+\left|A_{100}\right|\). Dễ thấy \(\left|A_1\right|=\left|A_2\right|=\left|A_3\right|=0\).

Ta sẽ tính các giá trị của \(\left|A_k\right|\).

TH1: \(k=2m\).

Xét \(1\le x\le m\). suy ra \(k=2m\ge2x\Leftrightarrow k-x\ge x\)

\(x+y>z\Rightarrow y>k-x\Rightarrow k-x+1\le y\le z-1\)

Số cách chọn \(y\) là \(\left(k-1\right)-\left(k-x+1\right)+1=x-1\) cách. 

Xét \(x>m\): \(x+y>2x>2m=z\) (thỏa mãn bđt tam giác) 

suy ra \(x+1\le y\le z-1=2m-1\).

Số cách chọn \(y\) là: \(\left(2m-1\right)-\left(x+1\right)+1=2m-x+1\) cách. 

Tổng số cách là:

 \(\sum\left|A_k\right|=\sum_{i=1}^m\left(i+1\right)+\sum_{i=m+1}^{2m-1}\left(2m-i+1\right)=\left(m-1\right)^2\) cách. 

TH2: \(k=2m+1\).

Ta làm tương tự như trên, xét với \(1\le x\le m\) và \(x>m\).

Tổng số cách là: \(\sum\left|A_k\right|=\sum_{i=1}^m\left(i-1\right)+\sum_{i=m+1}^{2m}\left(2m-i\right)=m^2-m\) cách. 

Vậy \(n\left(A\right)=\sum_{m=2}^{49}m\left(m-1\right)+\sum_{m=2}^{50}\left(m-1\right)^2=79625\) (cách).

\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(\Omega\right)}{n\left(A\right)}=\dfrac{65}{132}\).