Câu hỏi của Lê Song Phương

Question

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: $3^x-2^y=1$

Nguyễn Nam Dương · Accepted Answer

- Với $x=1\Rightarrow y=1$- Với $x>1\Rightarrow y>1$$\Rightarrow3^x=2^y+1$Do $y>1\Rightarrow2^y⋮4\Rightarrow2^y+1\equiv1\left(mod4\right)$ $\Rightarrow3^x\equiv1\left(mod4\right)$Nếu $x=2k+1\Rightarrow3^x=3^{2k+1}=3.9^k\equiv3\left(mod4\right)$ (ktm) $\Rightarrow x=2k\Rightarrow3^{2k}-1=2^y$$\Rightarrow\left(3^k-1\right)\left(3^k+1\right)=2^y$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^k-1=2^a\3^k+1=2^b\end{matrix}\right.$ với $b>a\Rightarrow2^b-2^a=2$$\Rightarrow2^a\cdot\left(2^{b-a}-1\right)=2\Rightarrow2^a=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\b=2\end{matrix}\right.$$\Rightarrow3^k-1=2\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=3$Vậy $\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(2;3\right)$Câu trả lời: - Với $x=1\Rightarrow y=1$- Với $x>1\Rightarrow y>1$$\Rightarrow3^x=2^y+1$Do $y>1\Rightarrow2^y⋮4\Rightarrow2^y+1\equiv1\left(mod4\right)$ $\Rightarrow3^x\equiv1\left(mod4\right)$Nếu $x=2k+1\Rightarrow3^x=3^{2k+1}=3.9^k\equiv3\left(mod4\right)$ (ktm) $\Rightarrow x=2k\Rightarrow3^{2k}-1=2^y$$\Rightarrow\left(3^k-1\right)\left(3^k+1\right)=2^y$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^k-1=2^a\3^k+1=2^b\end{matrix}\right.$ với $b>a\Rightarrow2^b-2^a=2$$\Rightarrow2^a\cdot\left(2^{b-a}-1\right)=2\Rightarrow2^a=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\b=2\end{matrix}\right.$$\Rightarrow3^k-1=2\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=3$Vậy $\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(2;3\right)$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP