Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Giả sử 2 phân số trên có thể đồng thời là số tự nhiên.
Ta có:
$\frac{7n-1}{4}$ là số tự nhiên
$\Rightarrow 7n-1\vdots 4$
$\Rightarrow 7n-1-8n\vdots 4$
$\Rightarrow -n-1\vdots 4\Rightarrow n+1\vdots 4$
$\Rightarrow n=4t-1$ với $t$ tự nhiên.
Khi đó:
$\frac{5n+3}{12}=\frac{5(4t-1)+3}{12}=\frac{20t-2}{12}$
$=\frac{10t-1}{6}$
Vì $10t-1$ lẻ với mọi $t$ tự nhiên nên $10t-1\not\vdots 2$
$\Rightarrow 10t-1\not\vdots 6$
$\Rightarrow \frac{5n+3}{12}$ không là số tự nhiên (trái với giả sử)
Vậy không thể tồn tại stn $n$ để 2 phân số trên đều là số tự nhiên.
\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)
\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)
\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)
\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)
và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )
Vì \(a,b,c,d>0\)
Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
Xét hiệu: \(\frac{7n-1}{4}-\frac{5n+3}{12}=\frac{3.\left(7n-1\right)}{12}-\frac{5n+3}{12}\)
\(=\frac{21n-3}{12}-\frac{5n+3}{12}\)
\(=\frac{\left(21n-3\right)-\left(5n+3\right)}{12}\)
\(=\frac{21n-3-5n-3}{12}\)
\(=\frac{16n-6}{12}\)
Do 16n chia hết cho 4; 6 không chia hết cho 4 => 16n - 6 không chia hết cho 4 => \(\frac{16n-6}{12}\)không là số tự nhiên
=> 7n - 1/4 và 5n + 3/12 không đồng thời là số tự nhiên với mọi số nguyên dương n (đpcm)
Đặt A = \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\)
=> \(A^2=n+n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\) = \(2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\)
Vì n nguyên dương nên 2n + 4 nguyên dương
Mặt khác n(n+4) >0 , không là số chính phương nên \(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) , không phải số nguyên dương
=> \(2\left(\sqrt{n\left(n+4\right)}\right)\) không phải số nguyên dương
=> A2 không phải số nguyên dương => A không phải số nguyên dương ( đpcm)
============================
Các bạn giải nhanh nha!
Ngày mai lúc 8h 30 (hoặc sớm hơn) mình sẽ chấm và đưa ra đáp án.