Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tồn tại số nguyên n thoả mãn \(\left(2014^{2014}+1\right)\) chia hết cho \(n^3+2012n\)
Ta có: \(n^3+2012n=\left(n^3-n\right)+2013n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2013n\)
Vì: \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3
Suy ra \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 3, mà 2013 chia hết cho 3 nên \(\left(n^3+2012n\right)\) chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: \(2014^{2014}+1=\left(2013+1\right)^{2014}+1\) chia 3 dư 2 ( vì 2013 chia hết cho 3) (2)
Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên n nào thoả mãn đề bài toán đã cho
d.violet.vn//uploads/resources/present/3/652/138/preview.swf
Ta thấy \(5^n+1⋮7^{2018}\) nên \(5^{2n}-1⋮7^{2018}\).
Lại có k = 6 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn \(5^k-1⋮7\Rightarrow2n⋮6\Rightarrow n⋮3\).
Đặt n = 3h.
Nếu n chia hết cho 6 thì \(5^n-1⋮5^6-1\Rightarrow5^n-1⋮7\Rightarrow5^n+1⋮7̸\)(vô lí).
Do đó h là số lẻ.
Đặt h = 2m + 1 thì n = 3(2m + 1).
\(5^{2n}-1⋮7^{2018}\Rightarrow\left(5^6\right)^{2m+1}-1⋮7^{2018}\).
Do 56 - 1 chia hết cho 7 nên \(2018\le v_7\left(\left(5^6\right)^{2m+1}-1\right)=v_7\left(5^6-1\right)+v_7\left(2m+1\right)=1+v_7\left(2m+1\right)\Rightarrow m\ge1008\).
Từ đó \(n\ge6051\).
Vậy n nhỏ nhất là 6051.