HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NN
0
NM
3
11 tháng 8 2019
+) Xét \(n\ge27\)
Ta có : \(A=4^{27}+4^{2016}+4^n=4^{27}\cdot\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
Dễ thấy \(4^{27}=2^{2\cdot27}=\left(2^{27}\right)^2\) là số chính phương
Do đó để A là số chính phương thì \(1+4^{1989}+4^{n-27}\) là số chính phương
Đặt \(B^2=1+4^{1989}+4^{n-27}\) và \(n-27=k\)
Khi đó : \(B^2=1+4^{1989}+4^k\)
\(\Leftrightarrow B^2-\left(2^k\right)^2=1+4^{1989}\)
\(\Leftrightarrow\left(B-2^k\right)\left(B+2^k\right)=1+4^{1989}\)
Ta có : \(B+2^k\le1+4^{1989}\) và \(B-2^k\ge1\)
\(\Rightarrow B-2^k+4^{1989}\ge1+4^{1989}\ge B+2^k\)
Hay \(B-2^k+4^{1989}\ge B+2^k\)
\(\Leftrightarrow2\cdot2^k\le4^{1989}\)
\(\Leftrightarrow2^{k+1}\le2^{3978}\)
\(\Leftrightarrow k+1\le3978\)
\(\Leftrightarrow k\le3977\)
Để n lớn nhất thì k lớn nhất, do đó:
Giả sử \(k=3977\) ta có \(B^2=1+4^{1989}+4^{3977}\)
\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}\right)^2+2\cdot2^{3977}+1\)
\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}+1\right)^2\)( đúng )
Vì vậy \(k=3977\Rightarrow n=3977+27=4004\)( thỏa )
+) Xét \(n\le27\) nên hiển nhiên \(n\le4004\)
Vậy n lớn nhất để A là số chính phương thì \(n=4004\)
NB
1
9 tháng 11 2016
Ta có
\(\frac{\left(n+1\right)^2}{n+23}=\frac{n^2+2n+1}{n+23}=n-21+\frac{484}{n+23}\)
Vì n nguyên dương nên n + 23 > 23
Để cho phân số đó là nguyên thì n + 23 phải là ước nguyên dương lớn hơn 23 của 484 hay
(n + 23) = (484; 44; 242; 121)
Thế vào giải ra số nào lớn nhất thì lấy
ND
0
LH
0
MY
0
\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)
Với \(n\ge27\):
\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
\(A\)là số chính phương suy ra \(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.
\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)
Với \(n=4004\)thì:
\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương.
Với \(n>4004\)thì:
\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)
\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)
Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương.
Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).