Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt bđt là (*)
Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :
\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)
\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)
Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)
Hay \(n\le2\)
Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT
\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
Ta cần CM:
\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)
=> đpcm
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)
Ta xét : \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1=\left[\left(n-1\right)\left(n+2\right)\right].\left[n\left(n+1\right)\right]+1\)
\(=\left(n^2+n+2\right)\left(n^2+n\right)+1=\left(n^2+n\right)^2+2\left(n^2+n\right)+1=\left(n^2+n+1\right)^2\)
Suy ra \(A=12\sqrt{\left(n^2+n+1\right)^2}+23=12\left(n^2+n+1\right)+23=\left(2n+1\right)^2+\left(2n-3\right)^2+\left(2n+5\right)^2\)
\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)
Với \(n\ge27\):
\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
\(A\)là số chính phương suy ra \(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.
\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)
Với \(n=4004\)thì:
\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương.
Với \(n>4004\)thì:
\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)
\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)
Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương.
Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).
Ta có
\(\frac{\left(n+1\right)^2}{n+23}=\frac{n^2+2n+1}{n+23}=n-21+\frac{484}{n+23}\)
Vì n nguyên dương nên n + 23 > 23
Để cho phân số đó là nguyên thì n + 23 phải là ước nguyên dương lớn hơn 23 của 484 hay
(n + 23) = (484; 44; 242; 121)
Thế vào giải ra số nào lớn nhất thì lấy