YT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 7 2016
a) Ta có : \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)(vì x > 0)
b) \(\left(x+1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge-2x\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\le-2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\le-2\)(vì x < 0)
22 tháng 7 2016
a) Ta có: \(x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\)
Vì \(x>0,\left(x-1\right)^2\ge0\)nên \(x++\frac{1}{x}-2\ge0\)
Vậy \(x+\frac{1}{x}\ge2\)vs \(x>0\)
b) Ta có: \(x+\frac{1}{x}+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\)
Vì \(x< 0,\left(x+1\right)^2\le0\), nên \(x+\frac{1}{x}\le0\)
Vậy \(x+\frac{1}{x}\le-2\)vs \(x< 0\)
2 tháng 3 2020
\(A=\left(x+y+z+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{4z}}+\frac{3}{4}\left(\frac{9}{x+y+z}\right)\)
\(\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
Vậy min A = 15/2 tại x = y = z = 1/2
22 tháng 6 2020
Lời giải của em ạ :D
\(A=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(t=x+y+z\le\frac{3}{2}\)
Khi đó \(A=t+\frac{9}{t}=\left(t+\frac{9}{4t}\right)+\frac{27}{4t}\ge3+\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/2
3 tháng 4 2021
a, \(B=\left(\frac{9-3x}{x^2+4x-5}-\frac{x+5}{1-x}-\frac{x+1}{x+5}\right):\frac{7x-14}{x^2-1}\)
\(=\left(\frac{9-3x}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}+\frac{\left(x+5\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}\right):\frac{7\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{9-3x+x^2+10x+25-x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{7\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{35+7x}{x+5}\frac{x+1}{7\left(x-2\right)}=\frac{7\left(x+5\right)\left(x+1\right)}{7\left(x+5\right)\left(x-2\right)}=\frac{x+1}{x-2}\)
b, Ta có : \(\left(x+5\right)^2-9x-45=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+10x+25-9x-45=0\Leftrightarrow x^2+x-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=5\end{cases}}\)
TH1 : Thay x = 4 vào biểu thức ta được : \(\frac{4+1}{4-2}=\frac{5}{2}\)
TH2 : THay x = 5 vào biểu thức ta được : \(\frac{5+1}{5-2}=\frac{6}{3}=2\)
c, Để B nhận giá trị nguyên khi \(\frac{x+1}{x-2}\inℤ\Rightarrow x-2+3⋮x-2\)
\(\Leftrightarrow3⋮x-2\Rightarrow x-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
| x - 2 | 1 | -1 | 3 | -3 |
| x | 3 | 1 | 5 | -1 |
3 tháng 4 2021
d, Ta có : \(B=-\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{x+1}{x-2}=-\frac{3}{4}\)ĐK : \(x\ne2\)
\(\Rightarrow4x+4=-3x+6\Leftrightarrow7x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{7}\)( tmđk )
e, Ta có B < 0 hay \(\frac{x+1}{x-2}< 0\)
TH1 : \(\hept{\begin{cases}x+1< 0\\x-2>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< -1\\x>2\end{cases}}}\)( ktm )
TH2 : \(\hept{\begin{cases}x+1>0\\x-2< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x< 2\end{cases}\Rightarrow-1< x< 2}\)
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
a)Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=\frac{1}{2}\),hay \(x^2=\frac{1}{4}\).Ta biến đổi như sau:
\(A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{x}=\frac{x^2+\frac{1}{4}}{x}+\frac{3}{4x}\) (1)
Do x > 0 nên \(\frac{x^2+\frac{1}{4}}{x}\ge\frac{2\sqrt{\frac{1}{4}x}}{x}=\frac{2x.\frac{1}{2}}{x}=1\) (BĐT Cô si) (2)
\(0< x\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow\frac{3}{4x}\ge\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(A\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(A_{min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
b)Ta có: \(A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}\)
Dự đoán xảy ra cực trị tại x = 2,ta biến đổi như sau:
\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1x}{4x}}+\frac{3x}{4}=2.\frac{1}{2}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy ....
Ngoài ra câu b) còn có thể giải như sau:
Dự đoán xảy ra cực trị tại x = 2,tức là x2 =4 ,ta biến đổi:
\(A=\frac{x^2+4-3}{x}=\frac{x^2+4}{x}-\frac{3}{x}\) (1)
Do x > 0 nên \(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{1\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2.x.2}{x}=4\) (2)
Do \(x\ge2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{3}{x}\le\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{-3}{x}\ge\frac{-3}{2}\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(A\ge4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy ...
Chết nhầm,bạn sửa chỗ đoạn cuối: \(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{1\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2x.2}{x}=4\)
thành \(\frac{x^2+4}{x}\ge\frac{2\sqrt{4x^2}}{x}=\frac{2x.2}{x}=4\) mới chính xác nha!Mình đánh nhanh quá nên nhầm:v Đánh nhanh mà còn mất 11 phút =))))