Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với x,y,z>0, áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)2.3\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các cặp số không âm, ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(x+y\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+x+y}{2}=\frac{2+3x+3y}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(y+z\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+y+z}{2}=\frac{2+3y+3z}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(z+x\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+z+x}{2}=\frac{2+3z+3x}{6}\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên \(\sqrt{\frac{2}{3}}\text{∑}\sqrt{x+y}\le2\)
\(\Rightarrow\text{∑}\sqrt{x+y}\le\sqrt{6}\)
Vậy \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
c) theo bunhia ta có:
\(VT^2\le3\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\)
Áp dụng Bđt \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Ta có:
\(A^2\le6\left(x+y+z\right)=6\)
\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{6}\)(Đpcm)
Đặt cho gọn ha
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\)
Bài toán trở thành : Cho a;b;c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=12\)
\(CMR:a^3+b^3+c^3\ge24\)
Dự đoán dấu "=" khi a = b = c = 2
Ta có : \(a\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^2-4a+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3-4a^2+4a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\ge4a^2-4a\)
Chứng minh tương tự được \(b^3\ge4b^2-4b\)
\(c^3\ge4c^2-4c\)
Cộng hết vô ta được \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(a+b+c\right)\)
\(=4.12+4\left(a+b+c\right)\)
\(=48-4\left(a+b+c\right)\)(1)
Ta có \(\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
C/m tương tự \(b^2+4\ge4b\)
\(c^2+4\ge4c\)
Cộng lại được \(a^2+b^2+c^2+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow12+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow24\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow-4\left(a+b+c\right)\ge-24\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge48-24=24\left(ĐPCM\right)\)
Vậy bài toán được c/m
ÁP dụng BĐT Bu nhi a cốp xki với ba số ta đc :
\(\left(1.\text{ }\sqrt{x+y}+1\sqrt{y+z}+1.\sqrt{x+z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(\left(\sqrt{x+y}\right)^2+\left(\sqrt{y+z}\right)^2+\left(\sqrt{z+x}\right)^2\right)\)
\(\le3\left(x+y+y+z+x+z\right)=3.2.\left(x+y+z\right)=6\)
=> \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\le\sqrt{6}\) ( ĐPCM)