Question

[Trang Kenny]

cho x,y,z>=0 và x+y+z=1. cmr: \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)

Answer 1

[Pham Quoc Cuong]

Với x,y,z>0, áp dụng BĐT Bunhiacopxki

\(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)2.3\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\) 

\(\Leftrightarrow6\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) (đpcm) 

Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các cặp số không âm, ta có:

\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(x+y\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+x+y}{2}=\frac{2+3x+3y}{6}\)

\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(y+z\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+y+z}{2}=\frac{2+3y+3z}{6}\)

\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(z+x\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+z+x}{2}=\frac{2+3z+3x}{6}\)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên \(\sqrt{\frac{2}{3}}\text{∑}\sqrt{x+y}\le2\)

\(\Rightarrow\text{∑}\sqrt{x+y}\le\sqrt{6}\)

Vậy \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)