Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C1
Giả sử căn 7 là số hữu tỉ Vậy căn 7 bằng a/b. Suy ra 7 bằng a bình / b bình. Suy ra a bình bằng 7b bình Suy ra a chia hết cho 7 Gọi a bằng 7k suy ra a bình bằng 7b bình Suy ra (2k) bình bằng 2b bình suy ra 4k bình bằng 2b bình suy ra 2k bình bằng b bình Suy ra ƯCLN(a,b)=2 Trái với đề bài =>căn 7 là số vô tỉ
Câu 1: giả sử √7 là số hữu tỉ
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0)
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1
=> 7 = a²/b²
<=> a² = b7²
=> a² ⋮ 7
7 nguyên tố
=> a ⋮ 7
=> a² ⋮ 49
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử)
=> giả sử sai
=> √7 là số vô tỉ
bài 3 : Theo bđt AM-GM dạng cộng mẫu thì
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{4}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
bài 4
a,Ta có điều hiển nhiên sau : \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(< =>a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(< =>a+b\ge2\sqrt{ab}\)(hoàn tất)
b, đề bị lỗi
c,\(12=3a+5b\ge2\sqrt{15ab}\Leftrightarrow ab\le\frac{12}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=2;b=\frac{6}{5}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Biến đổi tương đương \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-a^2b-b^2a\ge0\)
\(< =>a^2+b^2-ab-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(< =>a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta đã hoàn tất chứng minh
.
.
.
giúp mình vs
5.
Với mọi a;b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=a^2+b^2-ab\)
\(M=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
\(M_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
6.
Do \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2>0\)
Mà \(a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0\)
Mặt khác với mọi a;b ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) \(\Rightarrow-ab\ge-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
Từ đó:
\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le2\)
\(N_{max}=2\) khi \(a=b=1\)