Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát giả sử \(x^2\ge y^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2y^2\Leftrightarrow2y^2\le100\)
\(\Rightarrow y^2\le50\)
\(\Rightarrow y^2\in\left\{0;1;4;9;16;25;36;49\right\}\)
\(\circledast y^2=0\Leftrightarrow x^2=100\Leftrightarrow x=\pm10\) (chọn)
\(\circledast y^2=1\Leftrightarrow x^2=99\)(loại)
\(\circledast y^2=4\Leftrightarrow x^2=96\)(loại)
\(\circledast y^2=9\Leftrightarrow x^2=91\)(loại)
\(\circledast y^2=16\Leftrightarrow x^2=84\)(loại)
\(\circledast y^2=25\Leftrightarrow x^2=75\)(loại)
\(\circledast y^2=36\Leftrightarrow x^2=64\Leftrightarrow x=\pm8\) (\(y=\pm6\)) (chọn)
\(\circledast y^2=49\Leftrightarrow x^2=51\)(loại)
Vậy các cặp x;y thỏa mãn là: \(\left(x;y\right)\rightarrow\left(0;\pm10\right);\left(8;\pm6\right)\)và hoán vị
Câu 1)
Thử \(x=1,2,3,4,5\) ta thấy chỉ \(x=1\) thỏa mãn \(y=1\)
Với \(x\geq 6\)
Để ý rằng \(1!+2!+3!+...+x!=3+3!+4!+...+x!\) luôn chia hết cho $3$. Do đó \(y^3\vdots 3\rightarrow y\vdots 3\rightarrow y^3\vdots 27\)
Với \(x\geq 6\) thì \(x!\) luôn chia hết cho $27$. Do đó để \(y^3\vdots 27\) thì \(1!+2!+...+5!\) cũng phải chia hết cho $27$ hay $153$ chia hết cho $27$. Điều này vô lý.
Do đó phương trình chỉ có bộ nghiệm \((x,y)=(1,1)\) thỏa mãn.
Bài 2)
Ta thấy \(3(x^2+y^2+xy)=x+8y\geq 0\) nên chắc chắn tồn tại ít nhất một số nguyên không âm.
TH1: \(x\geq 0\)
\(\text{PT}\Leftrightarrow 3y^2+y(3x-8)+3x^2-x=0\)
Để PT có nghiệm thì \(\Delta=(3x-8)^2-12(3x^2-x)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -27x^2-36x+64\geq 0\)
Giải HPT trên ta suy ra \(x\leq 1\). Do đó \(x=0\) hoặc $1$
Nếu \(x=0\Rightarrow y=0\)
Nếu \(x=1\rightarrow y=1\)
TH2: \(x<0\) thì \(y> 0\)
\(\text{PT}\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y=0\)
Để PT có nghiệm thì \(\Delta =(3y-1)^2-12(3y^2-8y)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -27y^2+90y+1\geq 0\rightarrow y\leq 3\rightarrow y=1,2,3\)
Nếu \(y=1\rightarrow x=1\)
Nếu \(y=2,3\) không có $x$ thỏa mãn.
Vậy \((x,y)=(0,0),(1,1)\)
Ta có: \(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)
<=> \(\left(x^2y^2+4xy+4\right)+x^2+y^2=77\)
<=> \(\left(xy+2\right)^2+x^2=77-y^2\) (1)
Do \(\left(xy+2\right)^2+x^2\ge0\) => \(77-y^2\ge\)0 => \(y^2\le77\)
Do y nguyên và y2 là số chính phương => y2 \(\in\){0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64}
=> \(y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5;\pm6;\pm7;\pm8\right\}\)
thay y vào pt (1) ... (tự làm)
Hoặc C2:
\(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)
<=> \(\left(x^2y^2+2xy+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)=74\)
<=> \(\left(xy+1\right)^2+\left(x+y\right)^2=74=5^2+7^2\)
Xét các TH xảy ra:
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=7\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=7\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=-7\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=-7\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=5\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=5\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=-5\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=-5\end{cases}}\)
(Tự tính)
x 2 − 2 y ( x − y ) = 2 ( x + 1 ) < = > x 2 − 2 ( y + 1 ) x + 2 ( y 2 − 1 ) = 0 ( 1 )
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì D' theo y phải là số chính phương
+ Nếu Δ ' = 4 = > ( y − 1 ) 2 = 0 < = > y = 1 thay vào phương trình (1) ta có :
x 2 − 4 x = 0 < = > x ( 2 − 4 ) < = > x = 0 x − 4
+ Nếu Δ ' = 1 = > ( y − 1 ) 2 = 3 < = > y ∉ Z .
+ Nếu Δ ' = 0 = > ( y − 1 ) 2 = 4 < = > y = 3 y = − 1
+ Với y = 3 thay vào phương trình (1) ta có: x 2 − 8 x + 16 = 0 < = > ( x − 4 ) 2 = 0 < = > x = 4
+ Với y = -1 thay vào phương trình (1) ta có: x 2 = 0 < = > x = 0
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên ( x ; y ) ∈ {(0;1);(4;1);(4;3);(0;-1)}