Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
giả sử : \(\frac{mx+m}{\left(m+1\right)x-m+2}>0\)\(,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow\frac{m.0+m}{\left(m+1\right).0-m+2}>0\) \(\Rightarrow\frac{m}{2-m}>0\)
\(\Rightarrow0\)\(<\)\(m<\)\(2\)
ngược lại \(0<\)\(m<2\) thì:
\(mx+m>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)
\(\left(m+1\right)x\ge0>m-2,\)\(\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)x-m+2>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow\frac{mx+m}{\left(m+1\right)x-m+2}>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)
vậy: \(0\)\(<\)\(m<\)\(2\) là kết quả cần tìm
*x2+bx+c=0
\(\Delta=b^2-4c=b^2-4.\left(2b-4\right)=b^2-8b+16=\left(b-4\right)^2\)=>\(\sqrt{\Delta}=\left|b-4\right|\)
Với (b-4)2=0 =>b=4 =>c=4
PT có 1 nghiệm kép: \(x_1=x_2=-2\)
Với\(\Delta=\) (b-4)2>0,PT có 2 nghiệm pb: \(x_1=\frac{-b+\left|b-4\right|}{2};x_2=\frac{-b-\left|b-4\right|}{2}\)
Với b>4 thì: \(x_1=-2;x_2=\frac{-2b+4}{2}=-b+2\)
Với b<0 thì: x1=-b+2 ; x2=-2
Vậy khi c=2b-4 và b tùy ý thì PT: x2+bx+c=0 luôn có 1 nghiệm nguyên là -2
1) ( 2m - 1 )x² - 2mx + 1 = 0
Ta có :
b² - 4ac
= (-2m)² - 4(2m - 1)
= 4m² - 8m + 4
= ( 2m - 2 )²
Như vậy : (2m - 2)² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2m / (2m - 1)
{ x1x2 = 1 / (2m - 1)
Nếu nằm trong khoảng thì :
-1 < x1 < x2 < 0
Xét đoạn -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ pt sau
{ (x1 + 1 )(x2 + 1) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
Sử dụng Vi-ét
=> 1/(2m - 1) + 2m/(2m - 1) + 1 > 0
=> 2m / (2m - 1) + 2 > 0
<=> ( 1 + 2m + 2m - 1 ) / (2m - 1) > 0
<=> [2m + 2(2m - 1)] / (2m - 1) > 0
<=> 4m / ( 2m - 1 ) > 0
<=> ( 2m + 4m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
<=> 4m / (2m - 1) > 0
<=> ( 6m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
Vẽ bảng xét dấu
<=> m < 0 V m > 1/2 (1)
<=> m < 1/2 V m > 3 (2)
Xét đoạn x1 < x2 < 0
{ x1 + x2 < 0
{ x1x2 > 0
{ 2m / (2m - 1) < 0
{ 1 / (2m - 1) > 0
Xét bảng xét dấu
<=> 0 < m < 1/2 (3)
<=> m > 1/2 (4)
=> m không thuộc khoảng nào cả
=> Vô nghiệm
2) x² + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0
Ta có
b² - 4ac
= [ 2(m + 3) ]² - 4(4m + 12)
= 4(m + 3)² - 16m - 48
= 4(m² + 6m + 9) - 16m - 48
= 4m² + 24m + 36 - 16m - 48
= 4m² + 8m - 12
Để pt có nghiệm m < -1 V m > 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = -2(m + 3)
{ x1x2 = 4m + 12
Ta đã có -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ bất pt sau :
{ ( x1 + 1 )(x2 + 1 ) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
{ -2(m + 3) + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 12 + 2 > 0
{ -2m - 6 + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 14 > 0
{ 2m > -7
{ 4m > -14
{ m > -7/2
{ m > -7/2
Hợp nghiệm lại
m ∈ ( -7/2 ; -1 ) ∪ ( -3 ; +∞ )
3) 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Ta có
b² - 4ac = (2m - 1)² - 4.2.(m - 1)
= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8
= 4m² - 12m + 9
= ( 2m - 3 )²
Mà ( 2m - 3 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt
x1 = [-(2m - 1) - 2m +3 ]/ 2 = ( -4m + 2 ) /2 = -2m + 1
x2 = [-(2m - 1) +2m - 3 ]/ 2 = -2/2 = -1
Thế
3x1 - 4x2 = 11
3( -2m + 1 ) - 4.(-1) = 11
<=> -6m + 3 + 4 = 11
<=> -2m = 4
<=> m = -2
4) x² - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
Ta có
[ 2(m - 3)]² - 4.(-2)(m - 1)
= 4(m - 3)² + 8(m - 1)
= 4(m² - 6m + 9) + 8m - 8
= 4m² - 24m + 36 + 8m - 8
= 4m² - 16m + 28
Xét tiếp
(-16)² - 4.4.28 = -192 < 0 mà 4m² là số dương nên 4m² - 16m + 28 > 0 , ∀m ∈ IR
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2(m - 3)
{ x1x2 = -2(m - 1)
<=> ( x1 + x2 )² = 4(m - 3)²
<=> x1² + 2x1x2 + x2² = 4(m² - 6m + 9)
<=> x1² + x2² - (m - 1) = 4m² - 24m + 36
<=> x1² + x2² = 4m² - 24m + 36 + m - 1
<=> x1² + x2² = 4m² - 23m + 35
Để x1² + x2² Min thì 4m² - 23m + 35 phải Min
<=> 4m² - 23/4.2.2m + 529/16 + 31/16
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16
Mà ( 2m - 23/4 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16 ≥ 31/16 > 0
Vậy đạt Min khi đó "=" xảy ra : 2m - 23/4 = 0
<=> m = 23/8
Vậy m = 23/8 thì x1² + x2² đạt Min
=> Amin = x1² + x2² = 4(23/8)² - 23(23/8) + 35 = 31/161) ( 2m - 1 )x² - 2mx + 1 = 0
Ta có :
b² - 4ac
= (-2m)² - 4(2m - 1)
= 4m² - 8m + 4
= ( 2m - 2 )²
Như vậy : (2m - 2)² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2m / (2m - 1)
{ x1x2 = 1 / (2m - 1)
Nếu nằm trong khoảng thì :
-1 < x1 < x2 < 0
Xét đoạn -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ pt sau
{ (x1 + 1 )(x2 + 1) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
Sử dụng Vi-ét
=> 1/(2m - 1) + 2m/(2m - 1) + 1 > 0
=> 2m / (2m - 1) + 2 > 0
<=> ( 1 + 2m + 2m - 1 ) / (2m - 1) > 0
<=> [2m + 2(2m - 1)] / (2m - 1) > 0
<=> 4m / ( 2m - 1 ) > 0
<=> ( 2m + 4m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
<=> 4m / (2m - 1) > 0
<=> ( 6m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
Vẽ bảng xét dấu
<=> m < 0 V m > 1/2 (1)
<=> m < 1/2 V m > 3 (2)
Xét đoạn x1 < x2 < 0
{ x1 + x2 < 0
{ x1x2 > 0
{ 2m / (2m - 1) < 0
{ 1 / (2m - 1) > 0
Xét bảng xét dấu
<=> 0 < m < 1/2 (3)
<=> m > 1/2 (4)
=> m không thuộc khoảng nào cả
=> Vô nghiệm
2) x² + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0
Ta có
b² - 4ac
= [ 2(m + 3) ]² - 4(4m + 12)
= 4(m + 3)² - 16m - 48
= 4(m² + 6m + 9) - 16m - 48
= 4m² + 24m + 36 - 16m - 48
= 4m² + 8m - 12
Để pt có nghiệm m < -1 V m > 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = -2(m + 3)
{ x1x2 = 4m + 12
Ta đã có -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ bất pt sau :
{ ( x1 + 1 )(x2 + 1 ) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
{ -2(m + 3) + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 12 + 2 > 0
{ -2m - 6 + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 14 > 0
{ 2m > -7
{ 4m > -14
{ m > -7/2
{ m > -7/2
Hợp nghiệm lại
m ∈ ( -7/2 ; -1 ) ∪ ( -3 ; +∞ )
3) 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Ta có
b² - 4ac = (2m - 1)² - 4.2.(m - 1)
= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8
= 4m² - 12m + 9
= ( 2m - 3 )²
Mà ( 2m - 3 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt
x1 = [-(2m - 1) - 2m +3 ]/ 2 = ( -4m + 2 ) /2 = -2m + 1
x2 = [-(2m - 1) +2m - 3 ]/ 2 = -2/2 = -1
Thế
3x1 - 4x2 = 11
3( -2m + 1 ) - 4.(-1) = 11
<=> -6m + 3 + 4 = 11
<=> -2m = 4
<=> m = -2
4) x² - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
Ta có
[ 2(m - 3)]² - 4.(-2)(m - 1)
= 4(m - 3)² + 8(m - 1)
= 4(m² - 6m + 9) + 8m - 8
= 4m² - 24m + 36 + 8m - 8
= 4m² - 16m + 28
Xét tiếp
(-16)² - 4.4.28 = -192 < 0 mà 4m² là số dương nên 4m² - 16m + 28 > 0 , ∀m ∈ IR
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2(m - 3)
{ x1x2 = -2(m - 1)
<=> ( x1 + x2 )² = 4(m - 3)²
<=> x1² + 2x1x2 + x2² = 4(m² - 6m + 9)
<=> x1² + x2² - (m - 1) = 4m² - 24m + 36
<=> x1² + x2² = 4m² - 24m + 36 + m - 1
<=> x1² + x2² = 4m² - 23m + 35
Để x1² + x2² Min thì 4m² - 23m + 35 phải Min
<=> 4m² - 23/4.2.2m + 529/16 + 31/16
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16
Mà ( 2m - 23/4 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16 ≥ 31/16 > 0
Vậy đạt Min khi đó "=" xảy ra : 2m - 23/4 = 0
<=> m = 23/8
Vậy m = 23/8 thì x1² + x2² đạt Min
=> Amin = x1² + x2² = 4(23/8)² - 23(23/8) + 35 = 31/161) ( 2m - 1 )x² - 2mx + 1 = 0
Ta có :
b² - 4ac
= (-2m)² - 4(2m - 1)
= 4m² - 8m + 4
= ( 2m - 2 )²
Như vậy : (2m - 2)² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2m / (2m - 1)
{ x1x2 = 1 / (2m - 1)
Nếu nằm trong khoảng thì :
-1 < x1 < x2 < 0
Xét đoạn -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ pt sau
{ (x1 + 1 )(x2 + 1) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
Sử dụng Vi-ét
=> 1/(2m - 1) + 2m/(2m - 1) + 1 > 0
=> 2m / (2m - 1) + 2 > 0
<=> ( 1 + 2m + 2m - 1 ) / (2m - 1) > 0
<=> [2m + 2(2m - 1)] / (2m - 1) > 0
<=> 4m / ( 2m - 1 ) > 0
<=> ( 2m + 4m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
<=> 4m / (2m - 1) > 0
<=> ( 6m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
Vẽ bảng xét dấu
<=> m < 0 V m > 1/2 (1)
<=> m < 1/2 V m > 3 (2)
Xét đoạn x1 < x2 < 0
{ x1 + x2 < 0
{ x1x2 > 0
{ 2m / (2m - 1) < 0
{ 1 / (2m - 1) > 0
Xét bảng xét dấu
<=> 0 < m < 1/2 (3)
<=> m > 1/2 (4)
=> m không thuộc khoảng nào cả
=> Vô nghiệm
2) x² + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0
Ta có
b² - 4ac
= [ 2(m + 3) ]² - 4(4m + 12)
= 4(m + 3)² - 16m - 48
= 4(m² + 6m + 9) - 16m - 48
= 4m² + 24m + 36 - 16m - 48
= 4m² + 8m - 12
Để pt có nghiệm m < -1 V m > 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = -2(m + 3)
{ x1x2 = 4m + 12
Ta đã có -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ bất pt sau :
{ ( x1 + 1 )(x2 + 1 ) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
{ -2(m + 3) + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 12 + 2 > 0
{ -2m - 6 + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 14 > 0
{ 2m > -7
{ 4m > -14
{ m > -7/2
{ m > -7/2
Hợp nghiệm lại
m ∈ ( -7/2 ; -1 ) ∪ ( -3 ; +∞ )
3) 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Ta có
b² - 4ac = (2m - 1)² - 4.2.(m - 1)
= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8
= 4m² - 12m + 9
= ( 2m - 3 )²
Mà ( 2m - 3 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt
x1 = [-(2m - 1) - 2m +3 ]/ 2 = ( -4m + 2 ) /2 = -2m + 1
x2 = [-(2m - 1) +2m - 3 ]/ 2 = -2/2 = -1
Thế
3x1 - 4x2 = 11
3( -2m + 1 ) - 4.(-1) = 11
<=> -6m + 3 + 4 = 11
<=> -2m = 4
<=> m = -2
4) x² - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
Ta có
[ 2(m - 3)]² - 4.(-2)(m - 1)
= 4(m - 3)² + 8(m - 1)
= 4(m² - 6m + 9) + 8m - 8
= 4m² - 24m + 36 + 8m - 8
= 4m² - 16m + 28
Xét tiếp
(-16)² - 4.4.28 = -192 < 0 mà 4m² là số dương nên 4m² - 16m + 28 > 0 , ∀m ∈ IR
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2(m - 3)
{ x1x2 = -2(m - 1)
<=> ( x1 + x2 )² = 4(m - 3)²
<=> x1² + 2x1x2 + x2² = 4(m² - 6m + 9)
<=> x1² + x2² - (m - 1) = 4m² - 24m + 36
<=> x1² + x2² = 4m² - 24m + 36 + m - 1
<=> x1² + x2² = 4m² - 23m + 35
Để x1² + x2² Min thì 4m² - 23m + 35 phải Min
<=> 4m² - 23/4.2.2m + 529/16 + 31/16
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16
Mà ( 2m - 23/4 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16 ≥ 31/16 > 0
Vậy đạt Min khi đó "=" xảy ra : 2m - 23/4 = 0
<=> m = 23/8
Vậy m = 23/8 thì x1² + x2² đạt Min
=> Amin = x1² + x2² = 4(23/8)² - 23(23/8) + 35 = 31/161) ( 2m - 1 )x² - 2mx + 1 = 0
Ta có :
b² - 4ac
= (-2m)² - 4(2m - 1)
= 4m² - 8m + 4
= ( 2m - 2 )²
Như vậy : (2m - 2)² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2m / (2m - 1)
{ x1x2 = 1 / (2m - 1)
Nếu nằm trong khoảng thì :
-1 < x1 < x2 < 0
Xét đoạn -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ pt sau
{ (x1 + 1 )(x2 + 1) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
Sử dụng Vi-ét
=> 1/(2m - 1) + 2m/(2m - 1) + 1 > 0
=> 2m / (2m - 1) + 2 > 0
<=> ( 1 + 2m + 2m - 1 ) / (2m - 1) > 0
<=> [2m + 2(2m - 1)] / (2m - 1) > 0
<=> 4m / ( 2m - 1 ) > 0
<=> ( 2m + 4m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
<=> 4m / (2m - 1) > 0
<=> ( 6m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
Vẽ bảng xét dấu
<=> m < 0 V m > 1/2 (1)
<=> m < 1/2 V m > 3 (2)
Xét đoạn x1 < x2 < 0
{ x1 + x2 < 0
{ x1x2 > 0
{ 2m / (2m - 1) < 0
{ 1 / (2m - 1) > 0
Xét bảng xét dấu
<=> 0 < m < 1/2 (3)
<=> m > 1/2 (4)
=> m không thuộc khoảng nào cả
=> Vô nghiệm
2) x² + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0
Ta có
b² - 4ac
= [ 2(m + 3) ]² - 4(4m + 12)
= 4(m + 3)² - 16m - 48
= 4(m² + 6m + 9) - 16m - 48
= 4m² + 24m + 36 - 16m - 48
= 4m² + 8m - 12
Để pt có nghiệm m < -1 V m > 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = -2(m + 3)
{ x1x2 = 4m + 12
Ta đã có -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ bất pt sau :
{ ( x1 + 1 )(x2 + 1 ) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
{ -2(m + 3) + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 12 + 2 > 0
{ -2m - 6 + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 14 > 0
{ 2m > -7
{ 4m > -14
{ m > -7/2
{ m > -7/2
Hợp nghiệm lại
m ∈ ( -7/2 ; -1 ) ∪ ( -3 ; +∞ )
3) 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Ta có
b² - 4ac = (2m - 1)² - 4.2.(m - 1)
= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8
= 4m² - 12m + 9
= ( 2m - 3 )²
Mà ( 2m - 3 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt
x1 = [-(2m - 1) - 2m +3 ]/ 2 = ( -4m + 2 ) /2 = -2m + 1
x2 = [-(2m - 1) +2m - 3 ]/ 2 = -2/2 = -1
Thế
3x1 - 4x2 = 11
3( -2m + 1 ) - 4.(-1) = 11
<=> -6m + 3 + 4 = 11
<=> -2m = 4
<=> m = -2
4) x² - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
Ta có
[ 2(m - 3)]² - 4.(-2)(m - 1)
= 4(m - 3)² + 8(m - 1)
= 4(m² - 6m + 9) + 8m - 8
= 4m² - 24m + 36 + 8m - 8
= 4m² - 16m + 28
Xét tiếp
(-16)² - 4.4.28 = -192 < 0 mà 4m² là số dương nên 4m² - 16m + 28 > 0 , ∀m ∈ IR
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2(m - 3)
{ x1x2 = -2(m - 1)
<=> ( x1 + x2 )² = 4(m - 3)²
<=> x1² + 2x1x2 + x2² = 4(m² - 6m + 9)
<=> x1² + x2² - (m - 1) = 4m² - 24m + 36
<=> x1² + x2² = 4m² - 24m + 36 + m - 1
<=> x1² + x2² = 4m² - 23m + 35
Để x1² + x2² Min thì 4m² - 23m + 35 phải Min
<=> 4m² - 23/4.2.2m + 529/16 + 31/16
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16
Mà ( 2m - 23/4 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16 ≥ 31/16 > 0
Vậy đạt Min khi đó "=" xảy ra : 2m - 23/4 = 0
<=> m = 23/8
Vậy m = 23/8 thì x1² + x2² đạt Min
=> Amin = x1² + x2² = 4(23/8)² - 23(23/8) + 35 = 31/161) ( 2m - 1 )x² - 2mx + 1 = 0
Ta có :
b² - 4ac
= (-2m)² - 4(2m - 1)
= 4m² - 8m + 4
= ( 2m - 2 )²
Như vậy : (2m - 2)² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2m / (2m - 1)
{ x1x2 = 1 / (2m - 1)
Nếu nằm trong khoảng thì :
-1 < x1 < x2 < 0
Xét đoạn -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ pt sau
{ (x1 + 1 )(x2 + 1) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
Sử dụng Vi-ét
=> 1/(2m - 1) + 2m/(2m - 1) + 1 > 0
=> 2m / (2m - 1) + 2 > 0
<=> ( 1 + 2m + 2m - 1 ) / (2m - 1) > 0
<=> [2m + 2(2m - 1)] / (2m - 1) > 0
<=> 4m / ( 2m - 1 ) > 0
<=> ( 2m + 4m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
<=> 4m / (2m - 1) > 0
<=> ( 6m - 2 ) / ( 2m - 1 ) > 0
Vẽ bảng xét dấu
<=> m < 0 V m > 1/2 (1)
<=> m < 1/2 V m > 3 (2)
Xét đoạn x1 < x2 < 0
{ x1 + x2 < 0
{ x1x2 > 0
{ 2m / (2m - 1) < 0
{ 1 / (2m - 1) > 0
Xét bảng xét dấu
<=> 0 < m < 1/2 (3)
<=> m > 1/2 (4)
=> m không thuộc khoảng nào cả
=> Vô nghiệm
2) x² + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0
Ta có
b² - 4ac
= [ 2(m + 3) ]² - 4(4m + 12)
= 4(m + 3)² - 16m - 48
= 4(m² + 6m + 9) - 16m - 48
= 4m² + 24m + 36 - 16m - 48
= 4m² + 8m - 12
Để pt có nghiệm m < -1 V m > 3
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = -2(m + 3)
{ x1x2 = 4m + 12
Ta đã có -1 < x1 < x2
<=> 0 < x1 + 1 < x2 + 1
Ta lập hệ bất pt sau :
{ ( x1 + 1 )(x2 + 1 ) > 0
{ x1 + 1 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x1x2 + x2 + 1 > 0
{ x1 + x2 + 2 > 0
{ -2(m + 3) + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 12 + 2 > 0
{ -2m - 6 + 4m + 12 + 1 > 0
{ 4m + 14 > 0
{ 2m > -7
{ 4m > -14
{ m > -7/2
{ m > -7/2
Hợp nghiệm lại
m ∈ ( -7/2 ; -1 ) ∪ ( -3 ; +∞ )
3) 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Ta có
b² - 4ac = (2m - 1)² - 4.2.(m - 1)
= 4m² - 4m + 1 - 8m + 8
= 4m² - 12m + 9
= ( 2m - 3 )²
Mà ( 2m - 3 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt
x1 = [-(2m - 1) - 2m +3 ]/ 2 = ( -4m + 2 ) /2 = -2m + 1
x2 = [-(2m - 1) +2m - 3 ]/ 2 = -2/2 = -1
Thế
3x1 - 4x2 = 11
3( -2m + 1 ) - 4.(-1) = 11
<=> -6m + 3 + 4 = 11
<=> -2m = 4
<=> m = -2
4) x² - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0
Ta có
[ 2(m - 3)]² - 4.(-2)(m - 1)
= 4(m - 3)² + 8(m - 1)
= 4(m² - 6m + 9) + 8m - 8
= 4m² - 24m + 36 + 8m - 8
= 4m² - 16m + 28
Xét tiếp
(-16)² - 4.4.28 = -192 < 0 mà 4m² là số dương nên 4m² - 16m + 28 > 0 , ∀m ∈ IR
Áp dụng hệ thức Vi-ét
{ x1 + x2 = 2(m - 3)
{ x1x2 = -2(m - 1)
<=> ( x1 + x2 )² = 4(m - 3)²
<=> x1² + 2x1x2 + x2² = 4(m² - 6m + 9)
<=> x1² + x2² - (m - 1) = 4m² - 24m + 36
<=> x1² + x2² = 4m² - 24m + 36 + m - 1
<=> x1² + x2² = 4m² - 23m + 35
Để x1² + x2² Min thì 4m² - 23m + 35 phải Min
<=> 4m² - 23/4.2.2m + 529/16 + 31/16
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16
Mà ( 2m - 23/4 )² ≥ 0 , ∀m ∈ IR
<=> ( 2m - 23/4 )² + 31/16 ≥ 31/16 > 0
Vậy đạt Min khi đó "=" xảy ra : 2m - 23/4 = 0
<=> m = 23/8
Vậy m = 23/8 thì x1² + x2² đạt Min
=> Amin = x1² + x2² = 4(23/8)² - 23(23/8) + 35 = 31/16
với \(m=0\) : PT \(\left(1\right)\Leftrightarrow\) \(-2x+1=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\in\left(0;1\right)\)
với \(m\ne0\) : PT \(\left(1\right)\) có đúng 1 nghiệm \(\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\)
( để ý: \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m=\)\(m^2+m+1>0,\text{∀}x\in R\))
\(\Leftrightarrow m-2\left(m+1\right)+1<0\) \(\Leftrightarrow m>-1\)
vậy \(m>-2\) là kết quả cần tìm
với m=0m=0 : PT (1)⇔(1)⇔ −2x+1=0−2x+1=0 ⇔x=12∈(0;1)⇔x=12∈(0;1)
với m≠0m≠0 : PT (1)(1) có đúng 1 nghiệm ∈(0;1)∈(0;1)
⇔f(0).f(1)<0⇔f(0).f(1)<0
( để ý: Δ′=(m+1)2−m=Δ′=(m+1)2−m=m2+m+1>0,∀x∈Rm2+m+1>0,∀x∈R)
⇔m−2(m+1)+1<0⇔m−2(m+1)+1<0 ⇔m>−1⇔m>−1
vậy m>−2m>−2 là kết quả cần tìm
a) \(4x-7>0\Leftrightarrow4x>7\)\(\Leftrightarrow x>\frac{7}{4}\)
b) \(-5x+8>0\Leftrightarrow5x<8\Leftrightarrow x<\frac{8}{5}\)
c)\(9x-10\le0\Leftrightarrow9x\le10\)\(\Leftrightarrow x\le\frac{10}{9}\)
d) \(\left(x+1\right)^2+4\le x^2+3x+10\)\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+4\le x^2+3x+10\)
\(\Leftrightarrow5x\ge-5\Leftrightarrow x\ge-1\)
a,
4x - 7 > 0
↔ 4x > 7
↔ x > \(\dfrac{7}{4}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / x>\(\dfrac{7}{4}\) }
b,
-5x + 8 > 0
↔ 8 > 5x
↔ \(\dfrac{8}{5}\) > x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / \(\dfrac{8}{5}\) > x }
c,
9x - 10 ≤ 0
↔ 9x ≤ 10
↔ x ≤ \(\dfrac{10}{9}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / x ≤ \(\dfrac{10}{9}\) }
d,
( x - 1 )\(^2\) + 4 ≤ x\(^2\) + 3x + 10
↔ x\(^2\) - 2x +1 +4 ≤ x\(^2\) + 3x + 10
↔ 1 + 4 - 10 ≤ x \(^2\) - x\(^2\) + 3x + 2x
↔ -5 ≤ 5x
↔ -1 ≤ x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / -1 ≤ x}
Đáp án A
Phương pháp: Chia cả 2 vế cho 3x, đặt 
, tìm điều kiện của t.
Đưa về bất phương trình dạng 
Cách giải :
Ta có 
Đặt 
, khi đó phương trình trở thành
Ta có: 
Vậy 
S là tập con của F trong các trường hợp sau:
TH1: S là tập rỗng, tức là pt x2 - 2x + m = 0 vô nghiệm => delta' = 1 - m < 0 => m > 1
TH2: S có 1 nghiệm kép < 0 => delta' = 1 - m = 0 và nghiệm kép -b'/a = 1 < 0. Điều này không xảy ra
TH3: S có 2 nghiệm đều < 0 => Tổng 2 nghiệm cũng < 0. Mà tổng 2 nghiệm = -b/a = 1 là số dương => Điều này cũng ko bao giờ xảy ra.
Vậy m > 1 thì S là rỗng và khi đó S là tập con của F.
Bất phương trình trở thành:
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ≥ 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0
Do
Khi đó
nghiệm đúng với mọi
Xét hàm số
Vậy, tập tất cả các giá trị của m là ( - ∞ ; - 1 ].
Chọn B.