Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m+2=0\left(1\right).\)
a, Với m = 1, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-7m+6=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-6\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=6\end{cases}}\)
b, Với x = 2 \(\left(1\right)\Leftrightarrow4-2\left(2m+3\right)+m^2+3m+2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}}\)
Với m = 0, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=1\end{cases}}\)
Với m = 1, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=2\end{cases}}\)
c, \(\Delta=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1>0\)
Vì \(\Delta>0\)nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
d, Theo vi-ét ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\left(1\right)\\x_1.x_2=m^2+3m+2\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)^2-2\left(m^2+3m+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9-2m^2-6m-4-1=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-6m-4=0\Leftrightarrow m^2-3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)
c, Phương trình có nghiệm này bằng 3 nghiệm kia:\(\Leftrightarrow x_1=3x_2\left(3\right)\)
Kết hợp (1) và (3) ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1=3x_2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{6m+9}{5}\\x_2=\frac{2m+3}{5}\end{cases}}\left(I\right)}\)
Kết hợp (I) và (2) ta được: \(\frac{\left(6m+9\right)\left(2m+3\right)}{25}=m^2+3m+2\)
\(\Leftrightarrow25m^2+75m+50=12m^2+36m^2+27\)
\(\Leftrightarrow13m^2+39m^2+23=0\)
...
\(x^2+2\left(m+1\right)x+2m-4=0\)
a) \(\Delta^'=b'^2-ac=\left(m+1\right)^2-1.\left(2m-4\right)\)
=\(m^2+2m+1-2m+4\)
\(=m^2+5\)
pt có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta'>0\)
Ta có: \(m^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+5>0\)
Do đó pt có 2 nghiệm phân biệt
b) Theo định lý vi ét:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2\left(m+1\right)}{1}=-2m-2\)
\(x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2m-4}{1}=2m-4\)
Mà \(x_1^2+x_2^2=12\)
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\)
=>\(\left(-2m-2\right)^2-2\left(2m-4\right)=12\)
\(\Rightarrow\left(-2m\right)^2-2.2m.2+2^2-4m+8=12\)
\(\Rightarrow4m^2-8m+4-4m+8=12\)
\(\Rightarrow4m^2-12m+12=12\)
\(\Rightarrow4m^2-12m+12-12=0\)
\(\Rightarrow4m^2-12m=0\)
=>\(2m.\left(2m-6\right)=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}2m=0\\m-6=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)
vậy với m=0, m=3 thì \(x_1^2+x^2_2=12\)
\(x^2-2mx+\left(m-1\right)^3=0\left(1\right)\)
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m-1\right)^3>0\)(*)
Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt là u, u2 thì theo Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u\cdot u^2=\left(m-1\right)^2\end{cases}}\)(**)
(**)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u^3=\left(m-1\right)^3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u=m-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m-1+\left(m-1\right)^2=2m\\u=m-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m^2-3m=0\\u=m-1\end{cases}}}\)
PT \(m^2-3m=0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow m_1=0;m_2=3\left(tmđk\right)\)
Vậy m=0; m=3 là 2 giá trị cần tìm
để phương trình có nghiệm thì: \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow3+m\ge0\Leftrightarrow m\ge-3\)
để ptrình có nghiệm trái dấu thì \(m-1>0\Rightarrow m>1\)
?