Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2P-2=2\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2\left(z^2-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(x^2-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(y^2-1\right)\le0\)
\(\text{( Do }x^2;y^2;z^2\le1\text{)}\)
\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)
\(\text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 3 số bằng 1; 2 số còn lại bằng 0.}\)
Bài này dùng cách đặt ẩn phụ. Nhiều bài lớp 8 phải làm vậy. Mong bạn hiểu được cách giải.
Đặt x^2 +y^2 +z^2 =a , xy+yz+zx =b
Ta có: (x^2 +y^2 +z^2)(x+y+z)^2 +(xy+yz+zx)^2
= a (x^2 +y^2 +z^2 +2xy +2yz +2xz) +b^2
= a (a+2b)+ b^2
= a^2 + 2ab+ b^2
= (a+b)^2
= (x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx)^2
Chúc bạn học tốt.
Đặt \(x^2+y^2+z^2=a\) và \(xy+yz+zx=b\)
=>Đa thức trên trở thành:
\(a\left(x+y+z\right)^2+b^2\)
\(=a\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+b^2\)
\(=a\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]+b^2\)
\(=a\left(a+2b\right)+b^2\)
\(=a^2+2ab+b^2\)
\(=\left(a+b\right)^2\) (1)
Thay \(x^2+y^2+z^2=a\) và \(xy+yz+zx=b\) vào (1),ta đc:
\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+zy+zx\right)^2\)
=.= hok tốt!!
Lời giải:
Ta có: \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Vì \((x-y)^2; (y-z)^2;(z-x)^2\geq 0\), do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow 3x^{2017}=3y^{2017}=3z^{2017}=x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=9\)
\(\Rightarrow x=y=z=\sqrt[2017]{3}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2017x+2018y-4023z}{3}\right)^{2017}=\left(\frac{12x}{3}\right)^{2017}=(4x)^{2017}=3.4^{2017}\)
Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\)
\(=\frac{1}{2}.\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\right)\)
\(=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\) ( đpcm )
sao lại có cả trên 2 vậy
nhân vế trái với 2 là tạo ra cả 3 hàng đẳng thức rồi mà chắc bạn nhầm đâu đó rồi
a/ \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
b/ \(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c/ BĐT sai