Question

[Nguyễn Tất Đạt]

Hãy chứng minh định lí Mélélaus và định lí Céva ? (Điều kiện cần và đủ)

Answer 1

[Không Tên]

Định lí CEVA

Cho tam giác ABC với các điểm M, N, P khác A, B, C theo thứ tự thuộc BC, CA, AB. Khi đó các đường thẳng AM, BN. CP đồng quy hoặc đôi một song song  khi chỉ khi   \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1\)

                                                       Bài làm:

Y X A B C P O N M

ĐIỀU KIỆN CẦN

Trường hợp 1:    AM, BN, CP đồng quy

Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại O. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC đường thẳng này cắt BN, CP lần lượt tại  X, Y

Áp dụng Talet ta có:  

\(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{AY}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{XA}}.\frac{\overline{YA}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{XA}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{CB}}.\frac{\overline{YA}}{\overline{AY}}=\left(-1\right).\left(-1\right).\left(-1\right)=-1\)

Trường hợp 2:   AM, BN, CP đôi một song song

     A B C N M P

Áp dụng TALET ta có:

 \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{BM}}.\frac{\overline{CM}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{BM}}.\frac{\overline{BC}}{\overline{CB}}.\frac{\overline{CM}}{\overline{MC}}=\left(-1\right).\left(-1\right).\left(-1\right)=-1\)

Như vậy trong cả 2 trường hợp ta đều có:  \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1\)

p/s: điều kiện đủ và MELELAUS tối mai c/m tiếp, bh mk bận

Answer 2

[Không Tên]

ĐIỀU KIỆN ĐỦ:  Ta chứng minh nếu 3 đường AM, BN, CP không đôi một song song thì chúng đồng quy 

A B C N O M

Giả sử AM, BN không song song. Đặt O là giao điểm của AM và BN

Khi đó CO và AB không song song. Thật vậy nếu CO và AB song song thì theo Talet ta có:

  \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OC}}=-\frac{\overline{AB}}{\overline{CA}}=-\frac{\overline{NA}}{\overline{NC}}\Rightarrow\frac{\overline{MB}}{\overline{,MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=-1\)

Mặt khác theo giải thiết:  \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1\)

suy ra:  \(\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1\)\(\Rightarrow\)\(\overline{PA}=\overline{PB}\)\(\Rightarrow\)\(A\equiv B\)mâu thuẫn

Vậy CO không song song với AB.

Đặt  P' là giao của CO với AB

Theo kết quả đạt được trong c/m đk cần   \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{P'A}}{\overline{P'B}}=-1\)

Từ đó với:  \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{NA}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1\)

ta có:  \(\frac{\overline{P'A}}{\overline{P'B}}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\)  \(\Rightarrow\)\(P'\equiv P\)

Như vậy AM, BN, CP đồng quy