LD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TV
0
QA
1
BT
29 tháng 7 2018
\(\Leftrightarrow ab^2+ac^2-bc^2-a^2c+ca^2+cb^2-abc-abc\)=\(ab\left(b-a\right)-ac\left(b-a\right)-c^2\left(b-a\right)+bc\left(b-a\right)\)
=\(\left(b-a\right)\left(ab-ac-c^2+bc\right)=\left(b-a\right)\left[a\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)\right]=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(a+c\right)\)
J
0
19 tháng 9 2018
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\)
15 tháng 7 2015
Sau khi rút gọn ta có:
a2+b2+c2+abc+2≥ab+bc+ac+a+b+c
hay
2(a2+b2+c2)+2abc+4≥(ab+bc+ac+a+b+c).2
Áp dụng kết quả sau
a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ac) (1)
cần chứng minh
a2+b2+c2+3≥2a+2b+2c (2)
hay (a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0 (đúng)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số a,b,c sẽ có hai số hoặc cùng ≥1 hoặc cùng ≤1. Giả sử hai số đó là a,b khi đó:
(a−1)(b−1)≥0.
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)=(a−b)2+(c−1)2+2c(a−1)(b−1)≥0
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.
Lời giải 2: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử c là số bé nhất và đặt:
f(a,b,c)=a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)
Ta có:
f(a,b,c)−f(ab−−√,ab−−√,c)=(a√−b√)2(a+b+2ab−−√−2c)≥0
Do đó f(a,b,c)≥f(ab−−√,ab−−√,c), vậy ta chỉ cần chứng minh f(ab−−√,ab−−√,c)≥0.
Thật vậy, nếu đặt t=ab−−√ thì ta có:
f(t,t,c)=2t2+c2+2t2c−2(t2+2tc)+1=(c−1)2+2c(t−1)2≥0
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc\)
\(=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+2abc\)
\(=\left(ab^2+ba^2\right)+\left(ac^2+bc^2\right)+\left(abc+b^2c\right)+\left(ca^2+abc\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+ac\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(ab+c^2+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left[\left(ab+bc\right)+\left(c^2+ac\right)\right]\)
\(=\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)