Câu hỏi của Đỗ Thị Thanh Lương

Question

Giải phương trình:
a) (căn(2+căn 3))^x +(căn(2-căn 3))^x = 2^x
b) 2^x + 2^(-x) +2 = 4x - x^2
c) 2(cos((x^2+x)/6))^2= 2^x + 2^(-x)
d) (8^x + 2^x)/(4^x - 2)=5

Đỗ Thị Thanh Lương · Accepted Answer

Câu 1:
$png.latex?\sqrt{2+\sqrt{3}}^{x}+\sqrt{2-\sqrt{3}}^{x}=2^{x}$
$png.latex?\Leftrightarrow%20\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}^{x}%20+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}^{x}%20=1$
Dễ thấy phương trình có x=2 là 1 nghiệm.
Mặt khác ta có: vế trái luôn nghịch biến do
$png.latex?y%27=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}^{x}ln(\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}})%20+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}^{x}ln(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}})%20%3C0%20\forall%20x$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Câu 2:
$png.latex?2^{x}+2^{-x}+2=4x-x^2%20\Leftrightarrow%202^{x}+\frac{1}{2^{x}}+2=4x-x^2$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20\geq%202%20\Rightarrow%202^{x}+\frac{1}{2^{x}}+2%20\geq%204$
$png.latex?\Rightarrow%204x-x^{2}\geq%204%20\Leftrightarrow%20-(x-2)^{2}\geq%200$
Dễ thấy chỉ xảy ra khi $png.latex?x-2=0%20\Leftrightarrow%20x=2$
Mặt khác khi thay x=2 vào vế trái được VT bằng $png.latex?%202^{2}+\frac{1}{2^{2}}+2%20%3E4$
Vậy kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3:
Tương tự phương pháp như câu 2 ta có:
$png.latex?2cos{\frac{x^{2}+x}{6}}=2^{x}+2^{-x}$
$png.latex?\Leftrightarrow%201+cos{\frac{x^{2}+x}{3}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$
Vế phải $png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20\geq%202%20\Rightarrow%201+cos{\frac{x^{2}+x}{3}}\geq%202$
$png.latex?\Leftrightarrow%20cos{\frac{x^{2}+x}{3}}%20\geq%201$ mà $png.latex?-1%20\leq%20cos{\frac{x^{2}+x}{3}}%20\leq%201$
Vậy nên chỉ có thể xảy ra khi $png.latex?cos{\frac{x^{2}+x}{3}}=1(1)$
Mặt khác ta có để $png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20=2%20\Leftrightarrow%20x=0$
Thay x=0 vào (1) được $png.latex?cos{\frac{0}{3}}=1$ (Thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0

Câu 4
$png.latex?\frac{8^{x}+2^{x}}{4^{x}-2}=5$
Điều kiện là mẫu khác 0 hay x khác $png.latex?\frac{1}{2}$
Với điều kiện trên ta có:
$png.latex?8^{x}+2^{x}=5(4^{x}-2)%20\Leftrightarrow%20(2^{x})^{3}-5(2^{x})^{2}+2^{x}+10=0$
Bạn đặt $png.latex?t=2^{x}(t%3E0)$ ta được phương trình sau
$png.latex?t^{3}-5t^{2}+t+10=0$
Giải phương trình được $png.latex?t=2,t=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$ , $png.latex?t=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$ (loại vì t>0)
Vậy cuối cùng giải ra nghiệm của phương trình là:
$png.latex?x=1$ và $png.latex?x=log_{2}%20\frac{3+\sqrt{29}}{2}$

Câu trả lời:

Câu 1:
$png.latex?\sqrt{2+\sqrt{3}}^{x}+\sqrt{2-\sqrt{3}}^{x}=2^{x}$
$png.latex?\Leftrightarrow%20\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}^{x}%20+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}^{x}%20=1$
Dễ thấy phương trình có x=2 là 1 nghiệm.
Mặt khác ta có: vế trái luôn nghịch biến do
$png.latex?y%27=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}^{x}ln(\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}})%20+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}^{x}ln(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}})%20%3C0%20\forall%20x$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Câu 2:
$png.latex?2^{x}+2^{-x}+2=4x-x^2%20\Leftrightarrow%202^{x}+\frac{1}{2^{x}}+2=4x-x^2$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20\geq%202%20\Rightarrow%202^{x}+\frac{1}{2^{x}}+2%20\geq%204$
$png.latex?\Rightarrow%204x-x^{2}\geq%204%20\Leftrightarrow%20-(x-2)^{2}\geq%200$
Dễ thấy chỉ xảy ra khi $png.latex?x-2=0%20\Leftrightarrow%20x=2$
Mặt khác khi thay x=2 vào vế trái được VT bằng $png.latex?%202^{2}+\frac{1}{2^{2}}+2%20%3E4$
Vậy kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3:
Tương tự phương pháp như câu 2 ta có:
$png.latex?2cos{\frac{x^{2}+x}{6}}=2^{x}+2^{-x}$
$png.latex?\Leftrightarrow%201+cos{\frac{x^{2}+x}{3}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$
Vế phải $png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20\geq%202%20\Rightarrow%201+cos{\frac{x^{2}+x}{3}}\geq%202$
$png.latex?\Leftrightarrow%20cos{\frac{x^{2}+x}{3}}%20\geq%201$ mà $png.latex?-1%20\leq%20cos{\frac{x^{2}+x}{3}}%20\leq%201$
Vậy nên chỉ có thể xảy ra khi $png.latex?cos{\frac{x^{2}+x}{3}}=1(1)$
Mặt khác ta có để $png.latex?2^{x}+\frac{1}{2^{x}}%20=2%20\Leftrightarrow%20x=0$
Thay x=0 vào (1) được $png.latex?cos{\frac{0}{3}}=1$ (Thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0

Câu 4
$png.latex?\frac{8^{x}+2^{x}}{4^{x}-2}=5$
Điều kiện là mẫu khác 0 hay x khác $png.latex?\frac{1}{2}$
Với điều kiện trên ta có:
$png.latex?8^{x}+2^{x}=5(4^{x}-2)%20\Leftrightarrow%20(2^{x})^{3}-5(2^{x})^{2}+2^{x}+10=0$
Bạn đặt $png.latex?t=2^{x}(t%3E0)$ ta được phương trình sau
$png.latex?t^{3}-5t^{2}+t+10=0$
Giải phương trình được $png.latex?t=2,t=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$ , $png.latex?t=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$ (loại vì t>0)
Vậy cuối cùng giải ra nghiệm của phương trình là:
$png.latex?x=1$ và $png.latex?x=log_{2}%20\frac{3+\sqrt{29}}{2}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP