Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Điều kiện là n\(\ge\)2, n\(\in\)Z
Ta có
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!3!}\)+\(\frac{\left(n+2\right)!}{n!2!}\)>\(\frac{5}{2}\)\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)+\(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)>\(\frac{5\left(n-1\right)n}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)n(n2+3n+2) + 3(n2+3n+2) > 15(n2-n)
\(\Leftrightarrow\)n3-9n2+26n+6>0
\(\Leftrightarrow\)n(n2-9n+26)+6>0 (1)
Xét tam thứ bậc hai n2-9n+26, ta thấy \(\Delta\)=81-104<0
Vậy n2-9n+26>0 với mọi n. Từ đó suy ra với mọi n\(\ge\)2 thì (1) luôn luôn đúng. Tóm lại mọi số nguyên n\(\ge\)2 đều là nghiệm của (1).
Điều kiện là n\(\ge\)5, n\(\in\)Z
Ta có
\(\Leftrightarrow\) \(C_{n+1}^5\) = 3\(C_{n+1}^6\) (áp dụng công thức \(C_{n+1}^k\) = \(C_n^k\) + \(C_n^{k-1}\))
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-4\right)!5!}\) = 3\(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-5\right)!6!}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{\left(n-4\right)!5!}\) = \(\frac{3}{\left(n-5\right)!6!}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{n-4}\) = \(\frac{3}{6}\)
\(\Leftrightarrow\) 3n - 12 = 6
\(\Leftrightarrow\) n = 6
Rõ ràng n = 6 thỏa mãn điều kiện n\(\ge\) 5, n \(\in\) Z. Vậy nghiệm duy nhất của chương trình đã cho là n = 6.
Điều kiện để (1) có nghĩa là
\(\begin{cases}n\ge k\\n+3\ge0\\k+2\ge0\\n,k\in Z\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}n\ge k\\k\ge-2\\n,k\in Z\end{cases}\)
Do n,k \(\ge\) 0, nên điều kiện là n \(\ge\) k; n,k \(\in\)Z (2)
Ta có (1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(n+5\right)!}{\left(n-k\right)!}\) \(\le\) 60\(\frac{\left(n+3\right)!}{\left(n-k+1\right)!}\)
\(\Leftrightarrow\) (n-4)(n+5) \(\le\) \(\frac{60}{n-k+1}\) \(\Leftrightarrow\) (n-4)(n+5)(n-k+1) \(\le\) 60 (3)
Vì n\(\ge\)k \(\Rightarrow\) n-k+1>0\(\Rightarrow\) n-k+1\(\ge\) 1
Ta nhận thấy nếu n\(\ge\)4, thì
(n+4)(n+5)\(\ge\)72 \(\Rightarrow\) VT (3) \(\ge\)72
Do đó mọi n\(\ge\)4 không thỏa mãn (3)
- Xét lần lượt các khả năng
1) Nếu n = 0, do 0\(\le\)k\(\le\)n\(\Rightarrow\)k=0
Khi n=k=0 thì VT(3)=4.5.1=20 \(\Rightarrow\) n=0, k=0 thỏa mãn (3)
2) Nếu n=1, do 0\(\le\)k\(\le\)n \(\Rightarrow\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}k=0\\k=1\end{array}\right.\)
Thử lại n=1, k=0; n=1, k=1 đều thỏa mãn (3)
3) Nếu n=2 khi đó:
(3) \(\Leftrightarrow\) 6.7.(3-k)\(\le\)60
\(\Leftrightarrow\)3-k\(\le\)\(\frac{10}{7}\) \(\Rightarrow\) 3-k=1 \(\Rightarrow\)k=2
4) Nếu n=3
(3)\(\Leftrightarrow\) 7.8.(4-k)\(\le\)60
\(\Leftrightarrow\)4-k\(\le\)\(\frac{60}{56}\) \(\Rightarrow\) 4-k=1 \(\Rightarrow\) k=3
Vậy (1) có các nghiệm (n,k) sau
(0,0), (1,0), (1,1), (2,2), (3,3).
ta có : \(Q=C^1_n+2\dfrac{C_n^2}{C_n^1}+...+k\dfrac{C^k_n}{C_n^{k-1}}+...+n\dfrac{C^n_n}{C_n^{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{n!}{1!\left(n-1\right)!}+2\dfrac{1!\left(n-1\right)!}{2!\left(n-2\right)!}+...+k\dfrac{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}{k!\left(n-k\right)!}+...+\dfrac{n\left(n-1\right)!1!}{n!}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\dfrac{2\left(n-1\right)}{2}+...+\dfrac{k\left(n-k+1\right)}{k}+...+\dfrac{n}{n}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\left(n-1\right)+...+\left(n-k+1\right)+...+1\)
\(\Leftrightarrow Q=n^2-\left(1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)+...+\left(n-1\right)\right)\)
\(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{4}}\right)^{17}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{17-k}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^kx^{\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k}\)
Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\) là: \(C_{17}^{12}x^{-\frac{17}{4}}\)
b/ Xét khai triển:
\(\left(3-x\right)^n=C_n^03^n+C_n^13^{n-1}\left(-x\right)^1+C_n^23^{n-2}\left(-x\right)^2+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)
À, đến đây mới thấy đề thiếu, biết rằng cái kia làm sao hả bạn?
Ta có
(1) \(\Leftrightarrow\) 1 + \(C_x^2\) + \(C_x^4\) + ... + \(C_x^{2n}\) \(\ge\) 22003 (2)
Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có
(1+t)2x = \(C_{2x}^0\) + \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t2 + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t2x
(1 - t)2x = \(C_{2x}^0\) - \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t2 + .... + (-1)2x\(C_{2x}^{2x}\)t2x
Từ đó ta có
(1 + x)2x + (1 - t)2x = 2(1 + \(C_{2x}^2\)t2 + \(C_{2x}^4\)t4 + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t2x)
Thay t = 1, có
1 + \(C_{2x}^2\) + \(C_{2x}^4\) + ... + \(C_{2x}^{2x}\) = 22x-1
Do đó
(2) \(\Leftrightarrow\) 22x-1 \(\ge\) 22003
\(\Leftrightarrow\) 2x - 1 \(\ge\) 2003
\(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) 1002
Vậy với mọi số nguyên x \(\ge\) 1002 là nghiệm của (1)
(1) 1 + + + ... + 2 (2) Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có (1+t) = + t + t + ... + t (1 - t) = - t + t + .... + (-1) t Từ đó ta có (1 + x) + (1 - t) = 2(1 + t + t + ... + t ) Thay t = 1, có 1 + + + ... + = 2 Do đó (2) 2 2 2x - 1 2003 x 1002 Vậy với mọi số nguyên x 1002 là nghiệm của (1)
Điều kiện để (1) có nghĩa là
\(\begin{cases}n\ge3\\n-2\ge0\\n\in Z\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}n\ge3\\n\in Z\end{cases}\)
Ta thấy (1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{n!}{\left(n-3\right)!}\) + 2\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\) \(\le\) 9n
\(\Leftrightarrow\) (n-2)(n-1)n +(n-1)n \(\le\) 9n (2)
Do n\(\ge\)3 (tức n>0) nên
(2) \(\Leftrightarrow\) (n-2)(n-1) + n-1 \(\le\) 9
\(\Leftrightarrow\) \(n^2\) - 2n - 8 \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) -2 \(\le\) n \(\le\) 4 (3)
Đối chiếu vơi điều kiện, từ (3) suy ra n=3, n=4
Vậy (1) có hai nghiệm là n=3, n=4.