Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Vì \(x,y,z\in [0;1]\Rightarrow xy; yz,xz\geq xyz\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{xy+1}\leq \frac{x}{1+xyz}+\frac{y}{1+xyz}+\frac{z}{1+xyz}=\frac{x+y+z}{xyz+1}(*)\)
\(x,y,z\in [0;1]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)(y-1)\geq 0\\ (xy-1)(z-1)\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1\geq x+y\\ xyz+1\geq xy+z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow xyz+2+xy\geq x+y+z+xy\)
\(\Leftrightarrow xyz+2\geq x+y+z\)
Mà: \(xyz+2\leq 2xyz+2=2(xyz+1)\)
\(\Rightarrow x+y+z\leq 2(xyz+1)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{2(xyz+1)}{xyz+1}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \((x,y,z)=(1,1,0)\)
Ta có :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{z}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{y-2}{2y}+\dfrac{z-2}{2z}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :\(\dfrac{y-2}{2y}+\dfrac{z-2}{2z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{4yz}}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{yz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{yz}}\) (1)
Chứng minh tương tự :\(\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\sqrt{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{xz}}\) (2)
\(\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}}{\sqrt{xy}}\) (3)
Nhân 3 bất đẳng thức (1),(2) và (3) vế theo vế ta được :
\(\dfrac{1}{xyz}\ge\dfrac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=z=3\)
F\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}.4=1\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\frac{3}{4}\)
Vậy maxF=1 <=>x=y=z=\(\frac{3}{4}\)
Nếu \(\frac{x}{3}\)<0 thì x<0
Nếu \(\frac{x}{3}\)=0 thì x=0
Nếu 0<\(\frac{x}{3}\)<1 thì 0<x<3
Giải:
Ta có: x, y, z >0
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}\) và \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)
<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (*)
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\) (1)
\(\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (2)
\(\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (3)
Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\) (đpcm)
Dựa vào tính chất :x<y và y<z thì x<z, ta có :
-12/-37<0 và 0< 13/38
=> -12/-37<13/38
Chúc bạn học tốt!
Ta có: \(\frac{13}{38}>\frac{13}{39}=\frac{1}{3}\) (1)
\(\frac{-12}{-37}=\frac{12}{37}< \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\) (2)
Từ (1)(2) => \(\frac{13}{38}>\frac{-12}{-37}\)