Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì \(a\le b\le c=>\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{c}=>1+\frac{1}{a}\ge1+\frac{1}{b}\ge1+\frac{1}{c}\)
\(=>\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(1+\frac{1}{c}\right)\)
\(=>3\left(1+\frac{1}{c}\right)\le3=>1+\frac{1}{c}\le1=>\frac{1}{c}\le0=>1\le0\)
Đề sai thì phải bn à
Phan cả PHát - stupid lv max
Try a=3;b=8 or a=4;b=5 or a=5;b=4
\(abc=1\Rightarrow\left(abc\right)^2=a^2b^2c^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}=\frac{\left(ca\right)^2}{bc+ba};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\)
=> \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc+ca+ab+ca+ab+bc}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Tiếp tục áp dụng bđt Cauchy với 3 số dương ta được: \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{1}}{2}=\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{b+c}{bc}}\)
Biến đổi tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{a+c}{ac}};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{a+b}{ab}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2}3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Bạn chứng minh đẳng thức sau nhé: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\) \(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
Bạn nhìn thử xem cái ta đi chứng minh có giống với giả thiết của đề bài ko. Giả sử đặt ab=x, bc=y, ac=z.
Khi đó \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
Do đó xảy ra 2 trường hợp: x+y+z=0 hoặc \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì a,b,c là các số thực dương nên \(x+y+z\ne0\)do đó \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Suy ra: x=y=z hay ab=bc=ac hay a=b=c.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Có gì thắc mắc liên hệ với mình nha.
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+1}{ab}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b+1\right)=ab\Leftrightarrow2a+2b+2-ab=0\)
\(\Leftrightarrow2a-ab-4+2b+6=0\Leftrightarrow a\left(2-b\right)-2\left(2-b\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2-b\right)=-6\)
Đến đây chắc dễ rồi