Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+1}{ab}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b+1\right)=ab\Leftrightarrow2a+2b+2-ab=0\)
\(\Leftrightarrow2a-ab-4+2b+6=0\Leftrightarrow a\left(2-b\right)-2\left(2-b\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2-b\right)=-6\)
Đến đây chắc dễ rồi
a) Điều kiện : \(a\ne-b;b\ne1;a\ne-1\)
\(P=\frac{a^2\left(1+a\right)-b^2\left(1-b\right)-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{a^3+a^2+b^3-b^2-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a+b\right)\left(a-b\right)-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+a-b-a^2b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{a^2+b^2-a^2b^2+a-b-ab}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{a^2\left(1-b^2\right)-\left(1-b^2\right)+a\left(1-b\right)+\left(1-b\right)}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{\left(1-b\right)\left(a^2+a^2b-1-b+a+1\right)}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)
\(P=\frac{a^2+a^2b+a-b}{1+a}\)
\(P=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{1+a}\)
\(P=\frac{\left(a+1\right)\left(a+ab-b\right)}{1+a}\)
P = a + ab - b
b)
P = 3
<=> a + ab - b = 3
<=> a(b+1) - (b+1) +1 - 3 = 0
<=> (b+1)(a-1) = 2
Ta có bảng sau với a, b nguyên
| b+1 | 1 | 2 | -1 | -2 |
| a-1 | 2 | 1 | -2 | -1 |
| b | 0 | 1 | -2 | -3 |
| a | 3 | 2 | -1 | 0 |
| so với đk | loại | loại |
Vậy (a;b) \(\in\){ (3; 0) ; (0; -3)}
Vì \(a\le b\le c=>\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{c}=>1+\frac{1}{a}\ge1+\frac{1}{b}\ge1+\frac{1}{c}\)
\(=>\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(1+\frac{1}{c}\right)\)
\(=>3\left(1+\frac{1}{c}\right)\le3=>1+\frac{1}{c}\le1=>\frac{1}{c}\le0=>1\le0\)
Đề sai thì phải bn à
Câu 2/
\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)
Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.
PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với ba số \(a,b,c\) và ba số dương \(x,y,z\) bất kỳ với chú ý rằng \(a^2b^2c^2=1\), ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(x=ab;\) \(y=bc;\) và \(z=ca\) thì \(xyz=1\) \(\left(2\right)\) với \(x;\), \(y;\) và \(z\) \(>0\)
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\), \(y;\) và \(z\), ta được:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) \(\Leftrightarrow\) \(x+y+z\ge3\) (do \(\left(2\right)\)), tức \(ab+bc+ca\ge3\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\) \(\left(3\right)\) ta suy ra \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
thông điệp nhỏ :
hãy tích nếu như ko muốn tích
ai tích mình tích lại nh nha
Phan cả PHát - stupid lv max
Try a=3;b=8 or a=4;b=5 or a=5;b=4
à mà thôi ko cần giải đâu mik nghĩ ra rồi