K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 5 2022
Bài 2:
a+b+c+d=0
nên b+c=-(a+d)
\(a^3+b^3+c^3+d^3\)
\(=\left(a+d\right)^3-3ad\left(a+d\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)
\(=-\left(b+c\right)^3+3ad\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)
\(=3ad\left(b+c\right)-3bc\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(3ad-3bc\right)\)
\(=3\left(b+c\right)\left(ad-bc\right)\)
30 tháng 6 2017
\(a+b=a^3+b^3=1\)
\(\Leftrightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-3ab=1\)
\(\Leftrightarrow1-3ab=1\)
\(\Rightarrow ab=0\)
Ta có : \(\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=1\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+b^4+2\left(ab\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^4+b^4=1\)(2)
Từ (1) ; (2) => đpcm
NT
2
2 tháng 1 2019
áp dụng bđt cô si
a4 + a4 +a4 +1 >= 4a3 <=> 3a4 + 1 >= 4a3
cmtt với b và c ta có :
3b4 +1 >= 4b3
3c4 + 1 >= 4c3
=> 3a4 +3b4 +3c4 >= 3a3 +3b3 +3c3 +(a3 +b3 +c3 - 3) = 3a3 + 3b3 +3c3
đpcm
dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
3 tháng 9 2016
\(\left(a^2+a+4\right)^2+8a\left(a^2+a+4\right)+15a^2=\left(a^2+a+4\right)^2+8a\left(a^2+a+4\right)+16a^2-a^2=\left(a^2+a+4+4a\right)^2-a^2\)
\(\left(a^2+5a+4\right)^2-a^2=\left(a^2+5a+a+4\right)\left(a^2+5a-a+4\right)=\left(a^2+6a+4\right)\left(a^2+4a+4\right)=\left(a^2+6a+4\right)\left(a+2\right)^2\)
BQ
3 tháng 9 2016
a,9a^3-13a+6
=9a^3-6a^2+6a^2-4a-9a+6
=3a^2(3a-2)+2a(3a-2)-3(3a-2)
=(3a^2+2a-2)(3a-2)
11 tháng 7 2016
1. Cần sửa lại thành \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
Ta có : \(a^2+b^2+c^2-3=2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
2. Cần sửa lại thành : \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
3. Ta có : \(a+b+c=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=\frac{-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}\)
Lại có : \(1=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=1-2\left(a^2+b^2+c^2\right)=1-2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
11 tháng 7 2016
tài năng toán học hoàng lê bảo ngọc,tui công nhận bn 3 lần/ngày
NT
1
KN
20 tháng 10 2019
\(\left(a-b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\)
\(=a\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\)
\(-b\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\)
\(=a^5+a^4b+a^3b+a^2b^3+ab^4\)
\(-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5\)
\(=a^5-b^5\left(đpcm\right)\)
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:
`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`
Hoàn toàn tương tự:
`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`
`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`
`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`
`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`