Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\) \(\left(1\right)\)
Tương tự :
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra : \(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\) khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Đặt: a/b = c/d = k => a = bk, c = dk
Ta có:
a + b/a - b = bk + b/bk - b = b(k+1)/ b(k-1) = k+1/k-1 (1)
c + d/c- d = dk +d/ dk - d = d(k+1)/d(k-1) = k+1/k-1 (2)
Từ (1) và (2) => a+b/a-b = c+d/c-d
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2bk+5b}{3bk-4b}=\frac{b(2k+5)}{b(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\\ \frac{2c+5d}{3c-4d}=\frac{2dk+5d}{3dk-4d}=\frac{d(2k+5)}{d(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2c+5d}{3c-4d}\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{(bk)^2+b^2}{(dk)^2+d^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\frac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}(=\frac{b^2}{d^2})\) . Ta có đpcm.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>ad=bc=>ab+ad=ab+bc\)
\(a\left(b+d\right)=b\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) suy ra \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
Suy ra: \(\dfrac{a+b}{a-c}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk\) và \(c=dk\)
Nên \(\dfrac{a+b}{c-d}=\dfrac{bk+b}{dk-d}=\dfrac{b\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)
\(\dfrac{c+d}{c-d}=\dfrac{dk+d}{dk-d}=\dfrac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c-d}=\dfrac{c+d}{c-d}\) (với \(a-b\ne0,c-d\ne0\))
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}thì\)\(\dfrac{a+b}{c-d}=\dfrac{c+d}{c-d}\) ( \(a-b\ne0,c-d\ne0\))
Cách 1: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\)
Xét tích (a-b).c=ac-bc=ac-ad=a.(c-d)
Vay (a-b).c =a.(c-d)
=>\(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
Cách 2:
Ta đặt: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=kb;c=kd\)
Thế thì \(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{kb-b}{kb}=\dfrac{b.\left(k-1\right)}{kb}=\dfrac{k-1}{k}\) (1)
\(\dfrac{c-d}{c}=\dfrac{kd-d}{kd}=\dfrac{d.\left(k-1\right)}{kd}=\dfrac{k-1}{k}\) (2)
Từ (1),(2) => \(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
Cách 3:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
Vay \(\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
Cách 4:
Vì \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)nen \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)
Ta có: \(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{a}{a}-\dfrac{b}{a}=1-\dfrac{b}{a}=1-\dfrac{d}{c}=\dfrac{c-d}{c}\)
Vậy \(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau :
\(\dfrac{a}{3b}=\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{3d}=\dfrac{d}{3a}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Vì a + b + c + d khác 0 . Ta có :
\(a=\dfrac{1}{3}.3b=b\)(1)
\(b=\dfrac{1}{3}.3c=c\)(2)
\(c=\dfrac{1}{3}.3d=d\)(3)
\(d=\dfrac{1}{3}.3a=a\)(4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a = b = c = d
- Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
+ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)
Theo đề ta có: \(a:b=c:d\); \(b,d\ne0,b\ne\pm d\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}\end{matrix}\right.\) (đpcm)
ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow1+\dfrac{a}{b}=1+\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\left(đpcm\right)\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
=>\(a=b\cdot k\) ;\(c=d\cdot k\)
=>\(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b\cdot k+b}{b}=\dfrac{b\cdot\left(k+1\right)}{b}=k+1\) (1)
=>\(\dfrac{c+d}{d}=\dfrac{d\cdot k+d}{d}=\dfrac{d\cdot\left(k+1\right)}{d}=k+1\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\)
Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\dfrac{a}{c}\left(1\right)\)
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\rightarrowđpcm\)
- Theo đề bài:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)\(=\dfrac{a+b+a-b}{c+d+c-d}\)\(=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{a}{c}\) (1)
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)\(=\dfrac{a+b-\left(a-b\right)}{c+d-\left(c-d\right)}=\dfrac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{b}{d}\) (2)
- Từ (1) và (2)
=> \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)( đpcm )
Bài giải:
Với \(a,b,c,d\ne0\) ta có : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{c}{d}+1\Rightarrow\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{b}{d}\left(1\right)\)
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\Rightarrow\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\left(ĐPCM\right)\)
Đặt:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bt\\c=dt\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{bt+b}{bt-b}=\dfrac{b\left(t+1\right)}{b\left(t-1\right)}=\dfrac{t+1}{t-1}\)
\(\dfrac{c+d}{c-d}=\dfrac{dt+d}{dt-d}=\dfrac{d\left(t+1\right)}{d\left(t-1\right)}=\dfrac{t+1}{t-1}\)
Ta có đpcm