Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
1/ Ta có:
\(x^4+1=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2-ax+a^2-b\right)+\left(2ab-a^3\right)x+1-a^2b+b^2\)
Để \(\left(x^4+1\right)⋮\left(x^2+ax+b\right)\) thì
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab-a^3=0\\1-a^2b+b^2=0\end{matrix}\right.\) dễ thấy \(a=0\) không phải là nghiệm của hệ nên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b-a^2=0\\1-a^2b+b^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{a^2}{2}\\1-\dfrac{a^4}{2}+\dfrac{a^4}{4}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq a^2+b^2+2ab\\ a^2+b^2+2ab\geq 4ab\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\\ (a+b)^2\geq 4ab\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a^2+b^2)\geq 4\\ 4\geq 4ab\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2\geq 2; ab\leq 1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq 2; \frac{1}{ab}\geq 1\)
\(\Rightarrow P\geq 2+1=3\)
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=1$
Bài 3
Với abc=1
Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)
\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)
Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)
Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Khi đó
\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)
\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)
ta có chữ số tận cùng của M là 0 nên M là số chẵn và M chia hết cho 10 (1)
TH1: nếu a và b đều lẻ => a^2 lẻ, b^2 lẻ, ab lẻ => M lẻ (loại)
TH2: nếu a chẵn (lẻ) và b lẻ (chẵn) => M lẻ (loại)
TH3: nếu cả a và b đều chẵn => M chẵn (nhận)
=> a^2 chia hết cho 4, b^2 chia hết cho 4, ab chia hết cho 4 (2)
từ (1) và (2) ta có: M chia hết cho 20