I
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
7 tháng 8 2017
=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx
>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)
7 tháng 8 2017
=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx
>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
S
0
S
1
19 tháng 1 2021
ĐK : x ; y ; z dương ...
Ta có : \(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)=y\left(y-z\right)=z\left(z-x\right)\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng BĐT cô si 3 số ta được :
\(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{z}\frac{y}{x}\frac{z}{y}}=3\)
Dấu ''='' xảy ra <=> x = y = z
Vậy ta có đpcm
18 tháng 7 2017
ta có:
\(F^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\)
\(=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)=1+2.1=3\)
\(\Rightarrow F\ge\sqrt{3}\)
Vậy \(Min_F=\sqrt{3}\)khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
18 tháng 7 2017
cho mình hỏi từ \(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\ge x^2+y^2+z^2\)tại sao lại ra được như thế này vậy ạ
\(6\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+x^2+y^2+z^2\)
Đặt \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0\) thì:
\(t^2+\sqrt{3}t-6\ge0\)\(\Leftrightarrow t\ge\sqrt{3}\left(\text{do t>0 nên loại th kia }\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3^{\left(đpcm\right)}\)
Đúng ko ta?
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế ta được :
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Mặt khác ta cũng có BĐT quen thuộc :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Lấy (1) cộng (2) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)