S
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
S
1
19 tháng 1 2021
ĐK : x ; y ; z dương ...
Ta có : \(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)=y\left(y-z\right)=z\left(z-x\right)\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng BĐT cô si 3 số ta được :
\(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{z}\frac{y}{x}\frac{z}{y}}=3\)
Dấu ''='' xảy ra <=> x = y = z
Vậy ta có đpcm
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
18 tháng 7 2017
ta có:
\(F^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\)
\(=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)=1+2.1=3\)
\(\Rightarrow F\ge\sqrt{3}\)
Vậy \(Min_F=\sqrt{3}\)khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
18 tháng 7 2017
cho mình hỏi từ \(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\ge x^2+y^2+z^2\)tại sao lại ra được như thế này vậy ạ
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2020
\(VT=\sum\frac{x^2}{x^4+yz}\le\sum\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
TN
6 tháng 2 2017
Áp dụng BDT AM-GM ta có:\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{VT}{3}\ge\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{yz+yx+y}+\frac{z^2}{xz+zy+z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+xy+z}\) (Cauchy-Schwarz)
Do \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2\).Suy ra
\(2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra \(\frac{VT}{3}\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\Rightarrow VT\ge3\) (điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 10 2019
\(H\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy\left(x+y^3\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{2zx\left(z+x\right)}=\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{2yz\left(y+z\right)}+\frac{1}{2zx\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow H\ge\frac{9}{2}.\frac{1}{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh
Hoàn toàn tương tự: \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\); \(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow H\ge\frac{9}{2}.\frac{1}{x^3+y^3+y^3+z^3+z^3+x^3}=\frac{9}{4\left(x^3+y^3+z^3\right)}=\frac{9}{32}\)
\(H_{min}=\frac{9}{32}\) khi \(x=y=z=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)