Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình nghĩ là làm như này nè:
Dễ cm:
+: \(\left(a+b\right)^2\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)\)(với mọi a, b) ... Áp dụng => \(\left(x+y\right)^2\le\)\(2\)<=> \(-\sqrt{2}\le x+y\)\(\le\sqrt{2}\)
+: \(\sqrt{a+b}\le\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)\(\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)(Cái đầu dùng tương đương còn cái hai dùng bđt BCS)
ÁP dụng =>\(\sqrt{8-5\sqrt{2}}\le\) \(\sqrt{8+5\left(x+y\right)}\le\)\(T\)\(\le\sqrt{16+10\left(x+y\right)}\)\(\le\sqrt{16+10\sqrt{2}}\)
Dấu "=" <=> ...
Bạn @Đậu Đậu gì đó ơi, Bạn giải tới đó thì max=\(16+10\sqrt{2}\)thì mình hiểu rồi , còn min =??? ghi rõ hộ mình nhé
ta dễ chứng minh được \(x+y\ge\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\)\(\Rightarrow\)\(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}>0\)
\(P=\frac{5\left(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{5}{2}\left(x+y-\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)\right)\left(\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1\right)-\frac{9}{4}\left(x-y\right)^2\right)}{\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1}\)
\(+\left(\frac{\frac{45}{2}\left(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)}{5\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1}+\frac{9}{2}\right)\left(x-y\right)^2+6-4\sqrt{2}\ge6-4\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}-1}{5}\)
Ta chứng minh: \(P\ge6-4\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(4x^2+4y^2+17xy+5x+5y-11\right)\)
Hay là:
\(\frac{\left(9+4\sqrt{2}\right)\left(98x-298y-130+225\sqrt{2}y+85\sqrt{2}\right)^2}{9604}+\frac{18\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(-5y-1+\sqrt{2}\right)^2}{36+16\sqrt{2}}\ge0\)
Việc còn lại là của mọi người.
Quan trọng là dự đoán:D
Dự đoán Max =70 khi (x;y) =(-8;0)
Ta có: \(70-P=\frac{6\left(x+y+8\right)^2+17y^2}{11}\ge0\)
Hoặc một phân tích khác:\(70-P=\frac{\left(6x+23y+48\right)^2+102\left(x+8\right)^2}{253}\ge0\)
\(5x^2+8xy+5y^2=36\)
\(\Rightarrow5\left(x+y\right)^2-2xy=36\)
\(\Rightarrow-2xy=36-5\left(x+y\right)^2\)
Ta lại có \(M=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2+36-5\left(x+y\right)^2=36-4\left(x+y\right)^2\)
Mà \(-4\left(x+y\right)^2\Leftarrow0\)với mọi \(x;y\)nên \(M=36-4\left(x+y\right)^2\Leftarrow36\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=-y\)
A = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\)
<=> A(2x + y + 2) = 2x + 3y
<=> 2x.A + y.A + 2.A = 2x + 3y
<=> 2x(1 - A) + (3 - A).y = 2.A
Áp dụng BĐT Bunhia côp xki ta có: [2x.(1 - A) + ( 3 - A).y]2 < (4x2 + y2) .[(1 - A)2 + (3 - A)2]
=> (2.A)2 < 2A2 -8A + 10
<=> - 2A2 - 8A + 10 > 0
<=> A2 + 4A - 5 < 0
<=> (A - 1).(A + 5) < 0 <=> -5 < A < 1
Vậy Min A = -5 . giải hệ -5 = \(\frac{2x+3y}{2x+y+2}\); 4x2 + y2 = 1 => x ; y
Max A = 1 tại....
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
\(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[2-\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}\right]+\left[2-\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}\right]+\left[2-\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\right]\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có :
\(\frac{b^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)( 1 )
\(\frac{ac}{a\left(b+c\right)}+\frac{ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}=\frac{c^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{a^2}{a\left(a+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(a+b\right)}\) ( 2 )
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\)
Cộng ( 1 ) với ( 2 ), ta được :
\(\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
không biết cách này ổn không
Ta có : \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2-\frac{b}{a}}{\frac{c}{b}+1}\) ; tương tự :...
đặt \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1\)
\(\Sigma\frac{2-y}{z+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma xy^2+2\Sigma x^2+\Sigma xy\ge3\Sigma x+6\)( quy đồng khử mẫu )
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{x}{y}\ge\Sigma x\)( xyz = 1 ) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)
từ giả thiết: \(x+y\le xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(theo BĐT AM-GM)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)mà x,y dương nên \(x+y\ge4\)
ta có:\(16P\le\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz theo chiều ngược lại:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5x^2+7y^2}\le\frac{x^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5y^2+7x^2}\le\frac{y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\le\frac{x^2+y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)(*)
xét \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}=2-\frac{x^2+y^2}{y^2+2x^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}=2-\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy:\(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\ge\frac{4}{3\left(x^2+y^2\right)}\)
do đó \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}\le2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)
kết hợp với (*):\(16VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
\(VT\le\frac{1}{24}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
1
do x,y bình đẳng như nhau giả sử \(x\ge y\)
Ta có:x2018+y2018=2
mà \(x^{2018}\ge0,y^{2018}\ge0\)
\(\Rightarrow x^{2018}+y^{2018}\ge0\)
Do \(x^{2018}+y^{2018}=2=1+1=2+0\)(do x lớn hơn hoặc bằng y)
Với \(x^{2018}+y^{2018}=1+1\)\(\Rightarrow x^{2018}=y^{2018}=1\)
\(\Rightarrow x=y=1;x=y=-1;x=1,y=-1\)(do x lớn hơn hoặc bằng y)
\(\Rightarrow Q=1+1=2\)\(\left(1\right)\)
Với \(x^{2018}+y^{2018}=2+0\)\(\Rightarrow x^{2018}=2\)(vô lý vỳ x,y thuộc Z)
Vậy........................
\(\left(x+3y\right)^2\le\left(1+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=10\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+3y\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x+3y\right)^2-5\left(x+3y\right)+8\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3y\right)^2-10\left(x+3y\right)+16\le0\)
\(\Rightarrow2\le x+3y\le8\)
\(\Rightarrow3\le x+3y+1\le9\)