Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : (x - 1)(y - 1)(z - 1) = (xy - x - y + 1)(z - 1) = xyz - xz - yz + z - xy + x + y - 1 = (x + y + z) -\(\frac{xy+yz+xz}{1}\)+ 1 - 1
= x + y + z -\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)= (x + y + z) - (\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)) > 0 (do gt)
Có 2 trường hợp để (x - 1)(y - 1)(z - 1) > 0 :
_ x - 1 ; y - 1 ; z - 1 > 0 => x ; y ; z > 1 => xyz > 1 (trái với gt - loại)
_ 1 trong 3 số x - 1 ; y - 1 ; z - 1 dương,2 số còn lại âm => 1 trong 3 số x,y,z lớn hơn 1 (đpcm)
Câu a đề hơi sai nha bạn, nên mình chỉ giải câu b thoi
Áp dụng AM-GM cho các bộ 3 số dương (x,y,z) và (1/x,1/y,1/z):
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow P\ge6\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}}=6\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)( thỏa x,y,z thuộc (0;1))
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
cho x,y,z>0 và x+y+z=4. CMR \(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{xyz}\)
Đặt \(x=a^3,y=b^3,z=c^3\Rightarrow\)a,b,c dương và abc=1
\(x+y+1=a^3+b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+1\ge\left(a+b\right)ab+abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}=\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{abc+ab\left(a+b\right)}=\frac{abc}{abc+ab\left(a+b\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{y+z+1}\le\frac{a}{a+b+c};\frac{1}{x+z+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{c}{a+b+c}\frac{a}{a+b+c}\frac{b}{a+b+c}=1\)(đpcm)
{xyz=1
1x+1y+1z<x+y+z
⇔{xyz=1
xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
⇔{xyz=1
xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1
xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇔{xyz=1
xy+yz+zx<x+y+z
⇔{xyz=1
x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM
Vào google tìm nhé !