Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
{xyz=1
1x+1y+1z<x+y+z
⇔{xyz=1
xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
⇔{xyz=1
xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1
xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇔{xyz=1
xy+yz+zx<x+y+z
⇔{xyz=1
x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0
⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM
Câu a đề hơi sai nha bạn, nên mình chỉ giải câu b thoi
Áp dụng AM-GM cho các bộ 3 số dương (x,y,z) và (1/x,1/y,1/z):
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow P\ge6\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}}=6\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)( thỏa x,y,z thuộc (0;1))
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn: xyz=1. CMR:
A=\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1\)
Ta có
\(\frac{1}{1+x+xy}=\frac{1}{1+x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{z+xz+1}\)
\(\frac{1}{1+y+yz}=\frac{1}{1+\frac{1}{xz}+yz}=\frac{xz}{xz+1+z}\)
Từ đó ta có
A = \(\frac{z}{1+z+xz}+\frac{xz}{1+z+xz}+\frac{1}{1+z+xz}\)
= \(\frac{1+z+xz}{1+z+xz}=\:1\)
Ta có \(x+y+z=2\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{xy+xz+yz+z^2}{xy\left(xz+yz+z^2\right)}\right]=0\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{xy\left(xz+yz+z^2\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
TH1: x=-y\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow\left(-y\right)+y+z=2\Leftrightarrow z=2\)
TH2: y=-z\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow x+\left(-z\right)+z=2\Leftrightarrow x=2\)
TH3: z=-x\(\Leftrightarrow x+y+z=2\Leftrightarrow x+y+\left(-x\right)=2\Leftrightarrow y=2\)
Suy ra có ít nhất một trong ba số x,y,z bằng 2
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{y+z}{yz}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(\frac{1}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+z=0\\\frac{1}{x\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-x=0\\x^2+xy+xz=-yz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2+xy+xz+yz=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\left(x+y\right)\left(x+z\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\left(2-z\right)\left(2-y\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=2\\z=2\end{matrix}\right.\)
Ta có : (x - 1)(y - 1)(z - 1) = (xy - x - y + 1)(z - 1) = xyz - xz - yz + z - xy + x + y - 1 = (x + y + z) -\(\frac{xy+yz+xz}{1}\)+ 1 - 1
= x + y + z -\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)= (x + y + z) - (\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)) > 0 (do gt)
Có 2 trường hợp để (x - 1)(y - 1)(z - 1) > 0 :
_ x - 1 ; y - 1 ; z - 1 > 0 => x ; y ; z > 1 => xyz > 1 (trái với gt - loại)
_ 1 trong 3 số x - 1 ; y - 1 ; z - 1 dương,2 số còn lại âm => 1 trong 3 số x,y,z lớn hơn 1 (đpcm)