Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)
Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)
\(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)
Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)
=>P không phải là số chính phương
Bài 1
Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:
\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)
\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)
\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)
\(=2014\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)
Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)
Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)
Bài 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)
Từ giả thiết ta có ngay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
Suy ra x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Tới đây bạn tự làm nhé :)
câu 2 :
ab+ bc + ca = 2015
=> 2015 +a^2 = a^2 + ab + bc + ca
=> 2015 + a^2 = a(a+b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b)
Tương tự : 2015+b^2 = ( b + c )(b +a )
2015 + c^2 = ( c + a )(c + b ) thay vào ta có :
( 2015 + a^2)(2015 + b^2 ) (2015 +c^2) = (a + c )(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b) = [(a+c)(a+b)(b+c) ]^2 là số chính phương
Câu 1 ) :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2015}-\frac{1}{z}=\frac{z-2015}{2015z}\)
=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-2015}{2015z}\)
=> \(2015z\left(x+y\right)=\left(z-2015\right)xy\)
=> \(2015z\left(2015-z\right)-\left(z-2015\right)xy\) = 0
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015z-xy\right)\)= 0
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015\left(2015-x-y\right)-xy\right)=0\)
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015^2-2015x-2015y-xy\right)=0\)
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015-x\right)\left(2015-y\right)=0\)
=> 2015 - z = 0 hoặc 2015 -x = 0 hoặc 2015 - y = 0
=> z = 2015 hoặc x= 2015 hoặc y = 2015
Vậy trong ba số có ít nhất 1 số bằng 2015
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
Ta có x3 +y3 +z2 = 3xyz
=> x=y=z =1
=>T = 2015 + 2015 + 2015 = 3.2015 =6045
nói với nhữg bài khó thì nói là '' mìh mới học lớp 6 '' mà giờ đăng bài lớp 9 ?????