Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
* Vì \(a,b\ge1\)nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
Một cách tương tự: \(bc+1\ge b+c;ca+1\ge c+a\)
Với mọi số thực \(a\ge1\) ta luôn có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2\ge2a-1\Leftrightarrow\frac{1}{2a-1}\ge\frac{1}{a^2}\)
Tương tự: \(\frac{1}{2b-1}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{2c-1}\ge\frac{1}{c^2}\)
Từ đó suy ra \(VT\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{4ab}{ab+1}+\frac{4bc}{bc+1}+\frac{4ca}{ca+1}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+4-\frac{4}{ab+1}+4-\frac{4}{bc+1}+4-\frac{4}{ca+1}\)\(\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}-\frac{4}{ab+1}-\frac{4}{bc+1}-\frac{4}{ca+1}+12\)\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}-\frac{4}{a+b}-\frac{4}{b+c}-\frac{4}{c+a}+12\)\(=\left(\frac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\frac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\frac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Lời giải:
ĐKĐB \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{a}{a+1}+1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\)
-----------------------------------------------------------
Ta có: \(\text{VT}=1-\frac{8a^2}{8a^2+1}+1-\frac{8b^2}{8b^2+1}+1-\frac{8c^2}{8c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}=3-\underbrace{\left(\frac{8a^2}{8a^2+1}+\frac{8b^2}{8b^2+1}+\frac{8c^2}{8c^2+1}\right)}_{M}\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(4a^2+1\geq 4a\Rightarrow 8a^2+1=4a^2+(4a^2+1)\geq 4a^2+4a\)
\(\Rightarrow \frac{8a^2}{8a^2+1}\leq \frac{8a^2}{4a^2+4a}=\frac{2a}{a+1}\)
Thực hiện tương tự cho các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow M\leq 2\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)=2\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
Bạn xem lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abcge0a2b2c21cmr-dfracc1abdfracb1acdfraca1bcge1.1019784090594
Do giả thiết 1\le ab1≤ab nên 1\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}1≤ab≤2a+b. Vì vậy ta tìm cách ước lượng giảm bậc của biến a,ba,b từ 3 xuống 1, tức là phải dùng Cô si cho 3 số dương.
Áp dụng Cô si cho 3 số dương \dfrac{a^3}{1+b};\dfrac{1+b}{x};y1+ba3;x1+b;y ta có
\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{1+b}{x}+y\ge3a\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}1+ba3+x1+b+y≥3a3xy (1)
Kì vọng rằng bất đẳng thức cần chứng minh trở thành đẳng thức khi a=b=1a=b=1 nghĩa là
khi a=b=1a=b=1 phải có \dfrac{a^3}{1+b}=\dfrac{1+b}{x}=y1+ba3=x1+b=y hay \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{x}=y\Leftrightarrow x=4;y=\dfrac{1}{2}21=x2=y⇔x=4;y=21
(1) trở thành
\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{1+b}{4}+\dfrac{1}{2}\ge3a\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3a}{2}1+ba3+41+b+21≥3a381=23a
Tương tự \dfrac{b^3}{1+a}+\dfrac{1+a}{4}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3b}{2}1+ab3+41+a+21≥23b
Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta suy ra
\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{b^3}{1+a}+\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)\ge\dfrac{5}{2}\sqrt{ab}\ge\dfrac{5}{2}1+ba3+1+ab3+23≥45(a+b)≥25ab≥25
Do đó \dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{b^3}{1+a}\ge11+ba3+1+ab3≥1