Question

[30.Nɠυұễɳ Tɦàɲɦ Pɦúƈ ヅ]

Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ OA cắt BC tại D.

a) Cm OA là trung trực của BC.

b) Cm OD × DA = BD².

c) Vẽ đường kính BE, AE cắt (O) tại F. Gọi G là trung điểm EF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Cm OD × DA = OG × OH.

d) Cm EH là tiếp tuyến (O).

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

b: OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại D và D là trung điểm của BC

Xét ΔBOA vuông tại B có BD là đường cao

nên \(OD\cdot DA=BD^2\)

c: Sửa đề: \(OD\cdot OA=OG\cdot OH\)

Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OG là đường trung tuyến

nên OG\(\perp\)EF tại G

Xét ΔOGA vuông tại G và ΔODH vuông tại D có

\(\widehat{GOA}\) chung

Do đó: ΔOGA đồng dạng với ΔODH

=>\(\dfrac{OG}{OD}=\dfrac{OA}{OH}\)

=>\(OG\cdot OH=OA\cdot OD\)

d: Xét ΔBOA vuông tại B có BD là đường cao

nên \(OD\cdot OA=OB^2=OE^2\)

=>\(OG\cdot OH=OE^2\)

=>\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)

Xét ΔOGE và ΔOEH có

\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)

\(\widehat{GOE}\) chung

Do đó: ΔOGE đồng dạng với ΔOEH

=>\(\widehat{OGE}=\widehat{OEH}=90^0\)

=>EH là tiếp tuyến của (O)