Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
TH1: $m=0$ thì dễ thấy hpt có nghiệm \((x,y)=(0,1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
TH2: $m\neq 0$
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2x+my=m^3+m^2+m\\ -x+my=m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^2x+x=m^3+m^2+m-m^2\)
\(\Leftrightarrow x(m^2+1)=m^3+m=m(m^2+1)\)
\(\Rightarrow x=m\)
\(\Rightarrow my=m^2+x=m^2+m\Rightarrow y=m+1\)
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m,m+1)$
\(\Rightarrow x^2+y^2+m^2+(m+1)^2=2m^2+2m+1\)
\(=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2}\)
Vậy \((x^2+y^2)_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)
Tổng kết cả TH1; TH2 suy ra $m=\frac{-1}{2}$ thì $x^2+y^2$ đạt min.
\(\hept{\begin{cases}x^2-3x-4\le0\left(1\right)\\x^3-3\left|x\right|\cdot x-m^2+6m\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) có tập nghiệm là [-1;1]
(2) <=> \(x^3-3\left|x\right|\cdot x\ge m^2-6m\)
Xét đồ thị hàm số \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x=\hept{\begin{cases}x^3-3x^2\left(x\ge0\right)\\x^3+3x^2\left(x\le0\right)\end{cases}}\)trên [-1;4]
Trên đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y=m2-6m (m là tham số) có vị trí "ở dưới" đồ thị \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x\)thì \(m^2-6m\le16\) lúc đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm
\(m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\Leftrightarrow-2\le m\le8\)
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)