Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
Đổi biến x = - t đối với tích phân
Ta được:
Vậy
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì 
là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên
Câu 1:
\(\int\limits^3_0\left(f'\left(x\right)+1\right)\sqrt{x+1}dx=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\int\limits^3_0\sqrt{x+1}dx\)
\(=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\frac{14}{3}=\frac{302}{15}\Rightarrow\int\limits^1_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx=\frac{232}{15}\)
Ta có:
\(I=\int\limits^3_0\frac{f\left(x\right)dx}{\sqrt{x+1}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=2\sqrt{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=2f\left(x\right)\sqrt{x+1}|^3_0-2\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx\)
\(=4f\left(3\right)-2f\left(0\right)-2.\frac{232}{15}\)
\(=2\left(2f\left(3\right)-f\left(0\right)\right)-\frac{464}{15}=36-\frac{464}{15}=\frac{76}{15}\)
Câu 2:
\(I_1=\int\limits^3_1\frac{xf'\left(x\right)}{x+1}dx=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{x}{x+1}\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\frac{xf\left(x\right)}{x+1}|^3_1-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3.3}{3+1}-\frac{1.3}{1+1}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}\)
Ta có:
\(I=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx+\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}+I_2\)
Xét \(I_2=\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{-1}{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\frac{-lnx}{x+1}|^3_1+\int\limits^3_1\frac{dx}{x\left(x+1\right)}=-\frac{1}{4}ln3+\int\limits^1_0\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{4}ln3+ln\left(\frac{x}{x+1}\right)|^3_1=-\frac{1}{4}ln3+ln\frac{3}{4}-ln\frac{1}{2}=\frac{3}{4}ln3-ln2\)
\(\Rightarrow I=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}ln3-ln2\)
Xét tích phân \(I=\int\limits^1_0e^xf\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=e^x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0e^xf'\left(x\right)dx=e.f\left(1\right)-f\left(0\right)-I\)
\(\Rightarrow2I=e.f\left(1\right)-f\left(0\right)\)
Xét tích phân \(J=\int\limits^1_0f'\left(x\right)dx=I\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f'\left(x\right)\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f''\left(x\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=J=e^x.f'\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0e^x.f''\left(x\right)dx=e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)-I\)
\(\Rightarrow2I=e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{e.f'\left(1\right)-f'\left(0\right)}{e.f\left(1\right)-f\left(0\right)}=\frac{2I}{2I}=1\)
\(f\left(x\right)=cosx\Rightarrow f\left(f\left(\frac{\pi}{2}\right).\pi\right)=cos0=1\)