Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
góc AKB=1/2*180=90 độ
góc AKE+góc AHE=180 độ
=>AKEH nội tiếp
a) ta có \(\widehat{AMB}=\widehat{AKB}=90^0\)( góc nội tiếp chắn nửa (O)
=>\(\widehat{AKB}+\widehat{BIE}=90^0+90^0=180^0\)
=> Tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn
b)+)Ta có \(AB\perp MN\)tại \(\widebat{AM}=\widebat{AN}\)
=>\(\widehat{AME}=\widehat{AKM}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
tam giác AME zà tam giác AKM có\(\widehat{MAK}\)chung
\(\widehat{AME}=\widehat{AKM}\left(cmt\right)\)
=> tam giác AME = tam giác AKM(g.g)
=>\(\frac{AM}{AK}=\frac{AE}{AM}=AM^2=AE.AK\)
+) ta có \(\widehat{AMB}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác zuông có
\(MB^2=BỊ.AB\)
Dó đó\(AE.AK+BI.AB=MA^2+MB^2=AB^2=4R^2\)(do tam giác AMB zuông tại H )
c) ..........
d) 
Từ KE=KC thì ta có được △KEC vuông cân tại K ⇒ \(\widehat{C_1}\)=45° (đ/n)
Vì K và H cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông nên BCKH nội tiếp (bài toán cung chứa góc) ⇒ \(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{C_1}\)=45° (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{KH}\))
Xét △OBK có: OB=OK (cùng là bán kính) ⇒ △OBK cân tại O (đ/n)
⇒ \(\widehat{BOK}\)=180°-2*\(\widehat{B_1}\)=180°-2*45°=180°-90°=90° (t/c) ⇒ OK ⊥ OB (đ/n), mà MN ⊥ OB (gt) ⇒ OK // MN (từ vuông góc đến song song) (đpcm)
Ta kẻ thêm đường kính KOP của đường tròn (O), thì ta có KP // MN và KP=2R
Xét (O) có: KP và MN là 2 dây song song với nhau chắn 2 cung \(\stackrel\frown{KN}\) và \(\stackrel\frown{PM}\) ⇒ \(\stackrel\frown{KN}\)=\(\stackrel\frown{PM}\) (t/c) ⇒ KN=PM (2 dây căng cung bằng nhau)
Ta có: \(\widehat{KMP}\)=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ △KMP vuông tại M (đ/n) ⇒ KP2=KM2+PM2 (đ/l Py-ta-go)
Từ đó suy ra KM2+KN2=(2R)2=4R2 (đpcm)
c) 
Ta có: \(\widehat{AKB}\)=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BK ⊥ AC (đ/n), mà NF ⊥ AC (gt) suy ra BK // NF (từ vuông góc đến song song)
⇒ \(\widehat{N_1}\)=\(\widehat{K_1}\) (2 góc so le trong) (1)
Vì KNBM nội tiếp (4 đỉnh cùng thuộc đường tròn (O)) nên \(\widehat{K_1}\)=\(\widehat{M_1}\) (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{BN}\)) (2) và \(\widehat{NKM}\)+\(\widehat{NBM}\)=180° (tính chất 2 góc đối) (3)
Ta lại có: \(\widehat{NKM}\)+\(\widehat{NKF}\)=180° (2 góc kề bù) (4)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_1}\) (*) ; từ (3) và (4) ⇒ \(\widehat{NBM}\)=\(\widehat{NKF}\)
Xét △MBN và △NKF có: \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_1}\) (cmt), \(\widehat{NBM}\)=\(\widehat{NKF}\) (cmt)
⇒ △MBN ~ △NKF (g.g) ⇒ \(\widehat{F_1}\)=\(\widehat{N_2}\) (2 góc tương ứng) (**)
Ta dễ dàng chứng minh được △BMN cân tại B ⇒ \(\widehat{M_1}\)=\(\widehat{N_2}\) (đ/n) (***)
Từ (*), (**) và (***) ⇒ \(\widehat{F_1}\)=\(\widehat{N_1}\) ⇒ △NFK cân tại K (đ/n) (đpcm)