Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M P Q O H I K
a) Ta thấy OM là trung trực của PQ => OM vuông góc PQ => ^OKI = ^OHM = 900
=> \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g) => OH.OI = OK.OM (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OH.OI = OK.OM = OP2 = R2
Vì d,O đều cố định nên khoẳng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi
Vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\). Mà tia OI cố định nên I cố định (đpcm).
Lời giải:
a)
Ta có: \(MP=MQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(OP=OQ=R\)
\(\Rightarrow MO\) là đường trung trực của $PQ$
\(\Rightarrow MO\perp PQ \rightarrow \widehat{OKI}=90^0\)
Xét tam giác $OKI$ và $OHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc O}\\ \widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OKI\sim \triangle OHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{OI}{OK}=\frac{OM}{OH}\Rightarrow OI.OH=OK.OM\) (đpcm)
b)
Vì $MQ$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $MQ\perp OG$
Xét tam giác vuông $MQO$, có đường cao $QK$ ứng với cạnh huyền $MO$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì có: \(OK.OM=OQ^2=R^2\)
Kết hợp với kết quả phần a suy ra \(OI.OH=R^2\)
$O$ cố định, $xy$ cố định nên $H$ cố định, suy ra $OH$ cố định
Vậy $R^2$ và $OH$ cố định, do đó $OI$ cố định, kéo theo $I$ là điểm cố định.
Hiển nhiên $I\in PQ$ nên $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $I$ khi $M$ thay đổi.
M H Q O I K P
a.Ta có :MP,MQ là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow MP\perp OP,MQ\perp OQ\)
Mà \(OH\perp MH\Rightarrow M,H,O,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính MO
b.Ta có : M,H,Q,O,P cùng thuộc một đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{IHQ}=\widehat{IPQ}\)
Mà \(\widehat{HIQ}=\widehat{PIO}\Rightarrow\Delta IPO~\Delta IHQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IH.IO=IQ.IP\)
c.Ta có :
\(MP,MQ\) là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow PQ\perp MO\Rightarrow\widehat{OKI}=\widehat{OHM}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OKI~\Delta OHM\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OM.OK=OI.OH\)
Mà \(PK\perp OM,OP\perp MP\Rightarrow OK.OM=OP^2=R^2\)
\(\Rightarrow OI.OH=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)
Vì \(OH\perp d\) cố định \(\Rightarrow H\)cố định \(\Rightarrow I\) cố định
\(\Rightarrow IP.IQ=IO.IH\) không đổi
d ) Ta có :
\(\widehat{PMQ}=60^0\Rightarrow\widehat{KOQ}=\widehat{KOP}=60^0\)
a) Tứ giác MPOQ có góc MPO = góc MQO = 900 => MPOQ nội tiếp => góc PMO = góc PQO (1)
Tứ giác MPOH có MPO = góc MHO = 900 => MPOH nội tiếp => góc PMO = góc PHỐ (2)
Từ (1) và (2) => góc PQO = góc PHO => OPHQ nội tiếp
b) Tam giác IOQ và tam giác IPH có góc OIQ = góc PIH (đđ); góc Q = góc H nên chúng đồng dạng
=> IO/IP = IQ/IH => đpcm
c) Ta có OM là đường trung trực của PQ (vì OP =OQ ; MP = MQ) => OM vuông góc PQ tại K
Tam giác vuông OKI và tam giác vuông OHM có góc O chung nên đồng dạng => OK/OH = OI/OM
=> OK.OM = OI.OH (3)
Ta lại có tam giác OPM vuông tại P có PK là đường cao => OK.OM = OP2 (4)
Từ (3) và (4) => OI.OH = OP2. Mà OP, OH không đổi, nên OI không đổi . vậy I là điểm cố định
từ cmt IP.IQ = IO.IH suy ra IP.IQ không đổi
a/ Ta có \(OM\perp PQ\) (Hai tt cùng xuất phát từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi đường nối 2 tiếp điểm)
Xét tg vuông OIK và tg vuông OMH có \(\widehat{HOM}\) chung => tg OIK đồng dạng tg OMH
\(\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OH.OI=OM.OK\)
Xét tg vuông QMO
\(OQ^2=R^2=OK.OM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow OH.OI=OM.OK=R^2\left(dpcm\right)\)
b/ Ta có
\(OH.OI=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)
Ta có d cố định, O cố định => OH cố định và không đổi
\(R^2\)không đổi
=> OI không đổi
=> I nằm trên đường thẳng OH cố định và cách O cố định 1 khoảng OI không đổi => I cố định
c/ Không hiểu đề bài